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Niveau Licence Maths 1e ann
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l'ensemble IR

Posté par
abdo111
02-10-22 à 21:36

Bonsoir,
svp j'ai besoin de votre aide pour cette question:

Soient A > 0, a, b ∈ R, montrer que :

\forall \varepsilon \in ]0,A] on a:
a- \varepsilon  <b < a+ \varepsilon \Rightarrow a=b  
Merci pour votre aide

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : l'ensemble IR 02-10-22 à 22:30

Bonsoir abdo111


il y a une petite imprécision dans ton post :


il me semble qu'il s'agit plutôt de l'implication \Large\boxed{\left(\forall\varepsilon\in]0,A]~,~a-\varepsilon <b<a+\varepsilon\right)~\Rightarrow~\left(a=b\right)}

Posté par
abdo111
re : l'ensemble IR 02-10-22 à 22:31

oui c'est vrai, vous avez raison

Posté par
DOMOREA
l'ensemble IR 03-10-22 à 11:13

bonjour,
Démontre la contraposée

Posté par
abdo111
re : l'ensemble IR 03-10-22 à 15:57

Merci,
Oui c'est ce que j'ai fait.
Est ce que le A ne pose pas de problème

Posté par
carpediem
re : l'ensemble IR 03-10-22 à 19:25

salut

ce qui est vrai pour tout e dans ]0, A] est vrai pour tout e = 1/n tel que n > A

quelle est la limite de a - 1/n ? de a + 1/n quand n tend vers l'infini ?

Posté par
mousse42
re : l'ensemble IR 04-10-22 à 12:41

Bonjour,

Dans le sens direct (pour le fun) tu peux utiliser la borne inférieure.

\Large\boxed{\left(\forall\varepsilon\in]0,A]~,~a-\varepsilon <b<a+\varepsilon\right)~\Rightarrow~\left(a=b\right)}


\Large \forall\varepsilon\in]0,A], a-\varepsilon <b<a+\varepsilon \iff \forall\varepsilon\in]0,A] \,,\, |b-a|<\varepsilon

\Large |b-a| est un minorant de \Large]0,A], on a aussi \Large 0\le|b-a| (définition de la valeur absolue) et \Large \inf]0,A]=0 qui est le plus grand des minorants. Ainsi on a :

\Large 0\le|b-a|\le 0 donc \Large a=b

Posté par
abdo111
re : l'ensemble IR 04-10-22 à 20:23

Merci infiniment

Posté par
carpediem
re : l'ensemble IR 04-10-22 à 21:19

bien compliqué ...

\forall e \in ]0, A]  :  a - e < b < a + e \Longrightarrow \forall n > \dfrac 1 A  :  a - \dfrac 1 n < b < a + \dfrac 1 n

le théorème des gendarmes permet de conclure ...

Posté par
abdo111
re : l'ensemble IR 06-10-22 à 00:44

Merci infiniment

Posté par
carpediem
re : l'ensemble IR 06-10-22 à 09:27

de rien



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