Bonsoir, j'ai un exercice si vous pouvez m'aider, je vous remercie d'avance.
Soit l'espace des suites de nombres réels dont la série converge absolument et on considère la norme :
Pour chaque , on considère la suite telle que pour chaque on a :
1) Montrer que la suite ne converge pas vers la suite constante nulle.
2) Montrer que la suite ne possède aucune suite extraite convergente.
3) Déduire que la boule fermée de centre la suite nulle et de rayon 1 de l'espace n'est pas compacte.
Bonjour
Personnellement je répondrai à la question 2. (car elle implique 1).
Tu supposes qu'il existe une suite extraite (X_f(k))_k qui converge vers un élément Y de
Ecrire la définition de converge vers et montrer que ça implique que le n-ème terme de la suite (X_f(k))_k cv vers le n terme de Y (ceci pour tout n). En déduire la seule valeur possible de Y.
Je crois qu'en ayant fait ça proprement l'exercice est facile à finir.
Et bien
[/tex] étant la n_ième composante de la suite
Implique tend vers 0. Mais pour k assez grand donc Autrement dit si une sous suite converge c'est vers la fonction nulle.
Et par définition ça signifie que tend vers 0.....on voit bien la contradiction
salut
pour p <> q que vaut ||X_p - X_q|| ?
on peut alors conclure en remarquant qu'une suite convergente est de Cauchy ...
Bonjour
@Carpédiem je pense qu'il faut faire attention avec la suite de Cauchy. En effet, ne sachant pas si celui qui pose la question considère comme acquis la nature de l'espace normé Si oui il n'y a pas de problème mais sinon?
XZ19 : d'accord avec toi mais même sans connaitre la nature exacte de cet espace il me semble qu'on peut utiliser quand même cette voie ...
il est raisonnablement évident que cet espace est un evn ...
et je ne pense pas qu'on puisse parler de cet exo sans avoir vu (les bases de) cette théorie ...
Bonjour,
La contradiction ? , sinon avec la question 1).
Je n'ai pas compris pourquoi tends vers 0.
Cet exercice me casse la tête et je cherche d'abord à comprendre la question 1)
Hello !
Ecris les choses
X1 = (1,0,0,0,0....)
X2 = (0,1,0,0,0...)
X3 = (0,0,1,0,0...)
|Xn| = 1 donc Xn ne peut pas tendre vers 0
Bonjour
J'avais zappé la première question car je pensais que c'était évident pour toi.
A mon avis il faut revenir au fondamental: tu as écris ça c'est vrai.
Alors peux rappeler la définition de "la suite converge vers 0" ? (dans )
Si tu réponds correctement à cette question (c'est le BA-Ba du cours), en principe tu verras sans problème la réponse à la question 1.
Oui mais la définition exacte c'est tend vers 0.
Et plus généralement la définition de tend vers Y (au sens de la norme énoncé dans l'exo) c'est tend vers 0.
Donc la question 1 est résolue.
Pour la question 2. (pour l'instant on ne tient pas compte de la remarque de @Carpédiem
mais il serait bien d'y revenir ensuite).
Je mets des questions intermédiaires pour faciliter le travail.
a) Supposons qu'une suite (ici n'importe quelle suite de )
converge vers Y. Montrer que pour tout n, converge vers ( resp . Y_n représente le n-ième terme de la suite resp Y
b) Montrer que si une sous-suite de (X_k) converge vers une suite Y alors Y=0.
c) En déduire qu'aucune sous-suite de (X_k) est convergente.
Version 2. (voir le message de @Carpediem)
a) Montrer que (muni de la norme donnée dans l'énoncé) est complet
(en général c'est notion vue en cours)
b) Refaire la question en utilisant ce résultat.
attention mon idée n'était pas du tout ce que tu penses ... afin si je pense ce que tu penses !!!
les éléments de la suite sont tous de norme 1
donc pour tous éléments u et v de cette suite ||u - v|| = 2
et donc cela reste vrai pour les éléments de toute sous-suite de cette suite ...
donc aucune sous-suite ne peut être de Cauchy et donc ne converge certainement pas ... que l'espace soit complet ou non ...
ce me semble-t-il ...
tout à fait ... d'autant plus que c'est un exemple simple et "concret" (qu'on peut se représenter facilement) d'un espace complet avec boule unité non compacte du fait de sa dimension infinie
et que la complétude et la compacité sont donc deux notions différentes ... ou du moins la complétude est insuffisante à la compacité
mon cheminement répond aussi aux deux premières questions en un ...
Bonsoir,
Je n'arrive pas à comprendre vos étapes intermédiaires.
Soit une suite de Cauchy.
Pour il existe tel que ,
Pour il existe tel que ,
Puis par récurrence pour , on pose tel que ,
En particulier :
On pose alors
Si c'est bon, je suis bloqué ici, pour conclure que n'est pas de Cauchy.
ben ça démarre mal ...
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :