Bonsoir,
j'ai du mal à montrer que dans un espace vectoriel normé ,
pour une partie convexe de , la fonction est convexe.
Merci pour votre aide.
Soient V un -e.v. normé par N et A une partie convexe non vide de V; pour tout x de V je désignerai par f(x) = d(x,A) la distance de x à A càd f(x) = Inf{N(x - a) ; a A}.
On se propose de montrer que f est convexe.
Soient x et y dans V et t [0,1] ; on pose z = t.y + (1-t).x.
Soit > 0. On peut trouver a et b dans A tels que N(x-a) f(x) + et N(y-b) f(y) + .
Alors c = t.y + (1-t).x A donc f(z) N(z-c) = N(t.(y-b) + (1-t).(x-a)) tN(y-b) + (1-t).N((x-a)) tf(y) + (1-t)f(x) + .
Cette inégalité étant valable pour tout > 0 on a : f(t.y + (1-t).x) tf(y) + (1-t)f(x)
f est donc convexe.
salut
parce qu'il y a une erreur ici :
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