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la distance à un convexe est convexe

Posté par
romu
18-11-09 à 23:43

Bonsoir,

j'ai du mal à montrer que dans un espace vectoriel normé (V,||.||),
pour une partie convexe C de V, la fonction 3$d_C:\ x\in V\rightarrow \textrm{dist}(x,C) est convexe.

Merci pour votre aide.

Posté par
kybjm
re : la distance à un convexe est convexe 19-11-09 à 00:36

Soient V un -e.v. normé par N et A une partie convexe non vide de V; pour tout x de V je désignerai par f(x) = d(x,A) la distance de x à A càd f(x) = Inf{N(x - a) ; a A}.
On se propose de montrer que f est convexe.

Soient x et y dans V et t [0,1] ; on pose z = t.y + (1-t).x.
   Soit   > 0. On peut  trouver a et b dans A tels que N(x-a) f(x) +   et N(y-b) f(y) +   .
Alors c = t.y + (1-t).x A donc f(z) N(z-c) = N(t.(y-b) + (1-t).(x-a)) tN(y-b) + (1-t).N((x-a)) tf(y) + (1-t)f(x) +  .
Cette inégalité étant valable pour tout > 0 on a : f(t.y + (1-t).x) tf(y) + (1-t)f(x)
  
f est donc convexe.





Posté par
romu
re : la distance à un convexe est convexe 19-11-09 à 18:55

Merci kybjm.

Posté par
OUYDIR
re : la distance à un convexe est convexe 07-04-21 à 19:17

Bonjour à tous, j'ai une question concernant la partie C. Pourquoi la partie C doit être convexe?

Posté par
carpediem
re : la distance à un convexe est convexe 07-04-21 à 20:04

salut

parce qu'il y a une erreur ici :

kybjm @ 19-11-2009 à 00:36


Alors c = t.a + (1-t).b A donc f(z) N(z-c) = N(t.(y-b) + (1-t).(x-a)) tN(y-b) + (1-t).N((x-a)) tf(y) + (1-t)f(x) +  


et si C n'est pas convexe alors C n'a aucune raison d'être dans C ...

Posté par
carpediem
re : la distance à un convexe est convexe 07-04-21 à 20:05

carpediem @ 07-04-2021 à 20:04

salut

parce qu'il y a une erreur ici :
kybjm @ 19-11-2009 à 00:36


Alors c = t.a + (1-t).b A donc f(z) N(z-c) = N(t.(y-b) + (1-t).(x-a)) tN(y-b) + (1-t).N((x-a)) tf(y) + (1-t)f(x) +  


et si C n'est pas convexe alors c n'a aucune raison d'être dans C ...



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