Bonjour.
J'imagine que A est supposé mesurable ?

Salut Rouliane,


en fait il faut que A soit mesurable pour que la fonction indicatrice soit mesurable.Ainsi R\A sera mesurable.

R est mesurable si ton espace de depart est R.

Merci à vous.

Oui, A est supposé mesurable.

Sinon, j'ai pas compris pourquoi R était mesurable. C'est bien mon espace de départ. Mais il est mesurable car c'est l'ensemble lui même ?  ( je mélange un peu tout avec les algèbre, etc... )

Si ton espace mesuré de départ est R muni de la tribu des boreliens et de la mesure de Lebesgue alors R est un élément de la tribu donc mesurable.

Voilà, merci c'est ce que je voulais plus ou moins dire.

Petite question : si R est muni de la tribu des Boréliens, on considère l'cette tribu comme l'ensemble des parties ouvertes de R.
Mais peut-on expliciter cet ensemble ?

L'ensemble des parties ouvertes? La tribu engendrée par les ouverts plutot non?

Oui, bien sur pardon, la tribu engendrée par l'ensemble des parties ouvertes

Sinon expliciter cet ensemble que veux-tu dire exactement?

En général tous les parties de R que tu utilises (ouverts,fermés,intervalles semi-ouverts,etc...) sont dans la tribu. Pour trouver un ensemble non borelien je crois qu'il faut faire appel à l'axiome de choix et construire des trucs assez tordus.

Décrire les boréliens ? (=les élements de la tribu borélienne).

Tu peux dire qu'un borélien c'est une partie de R qui s'écrit comme une combinaison dénombrable d'opérations ensemblistes sur des intervalles...

Je ne sais pas si c'est clair : tu prends une famille dénombrable d'intervalles, tu appliques sur ceux-ci intersection, union, ou complémentaire, c'est ainsi que tu obtiens tous les boréliens.

Ceci doit être mieux formalisé en théorie descriptive des ensembles.

Merci.

En fait, disons que c'est vague pour moi.

Quel est l'interet de se placer toujours ( j'ai l'impression que c'est toujours ) dans un espace muni de la tribu Borélienne ?
Pourquoi quand on parle de fonction mesurable, on fait toujours référence à la tribu Borélienne ?

Ca doit vous paraitre un peu idiot ces questions, mais je nage totalement pour l'instant

La tribu borélienne n'est pas celle que l'on utilise toujours, on travaille surtout avec celle de Lebesgue.
Celà étant, c'est la première qui soit vraiment naturelle et intéressante pour le calcul intégral sur R^n.

D'accord, merci.

Je ne suis pas encore arrivé au chapitre où on parle de la tribu de Lebesgue

otto qu'appelles-tu la tribu de Lebesgue ? La tribu borélienne complétée pour la mesure de Lebesgue ?

Rouliane je pense qu'à l'origine l'objectif de Lebesgue était de construire l'intégrale. Suivant sa construction la tribu borélienne a du s'imposer. Toutes les fonctions que l'on peut intégrer sont les fonctions mesurables. Mais bon là je dis peut-être un peu n'importe quoi

Par contre il faut que tu comprennes ce qui suit sur les fonctions mesurables (sous entendu fonction de R dans R mesurable pour la tribu borélienne).

Toutes les fonctions que tu as rencontrées dans ta vie sont, je suis prêt à la parier, mesurables. Toute fonction f définie par f(x)=expression(x) est mesurable, ainsi que toute fonction f définie par f(x)=expression1(x) si x>x0 et f(x)=expression2(x) si x<x0, ainsi que toute fonction définie par un algorithme.  Une limite de fonctions mesurable est mesurable, etc...

Donc si tu sais démontrer qu'une propriété est vraie pour toutes les fonctions mesurables, tu peux être content car tu sais qu'"en pratique" tu n'auras à affaire qu'avec des fonctions mesurables.

Or il s'avère que pour montrer qu'une certaine propriété est vraie pour les
fonctions mesurables, il suffit (par exemple) de montrer qu'elle est vraie pour les fonctions étagées. C'est donc fichtrement pratique.

Merci.

Conçernant les fonctions étagées, j'arrive toujours pas à voir la différence avec une fonction en escalier ?

Une fonction est en escalier si elle est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques d'intervalles ouverts.
Une fonction est simple si elle est d'image finie.

Il n'y a pas de lien entre les deux.

Sur wikipedia on trouve étagée comme synonyme d'escalier mais avec la définition de fonction simple.
N'ayant jamais vu vraiment le mot "étagé", à toi de choisir ce qui te convient.

Ok, merci.

Donc par exemple la fonction partie entière sur R est en escalier, mais pas simple.
Par contre la fonction partie entière sur [0;2[ par exemple est à la fois simple et en escalier.

Mais je ne trouve pas d'exemple de fonction simple mais pas en escalier, tu peux m'aiguiller stp ?

Bonjour,
oui.
Pour une fonction simple non en escalier, ce n'est pas si difficile, tu n'as pas besoin d'en avoir une continue par morceaux...

Si je prends juste un point, ça marche non ?

Oui mais c'est un cas un peu dégénéré, mais effectivement ca fonctionne.
Sinon tu pouvais penser à la fonction caractéristique d'un ensemble totalement disconnexe de R, par exemple Q.

ok,

la fonction qui vaut 1 si x  est dans Q et 0 sinon ?
Ca marche pas, si ?

Qu'est ce qui ne marche pas?

Oui, pardon excuse moi, j'ai raisonné sur l'ensemble de départ betement, alors que l'ensemble image a bien évidemment un nombre fini de valeur, à savoir 0 et 1.

Merci beaucoup c'est vraiment sympa !
Je reviendrai poser quelques questions dans la semaine surement

Bonsoir,

Une petite question :  comment montre-t-on que Q est de mesure nulle ?

Intuitivement, je vois bien, mais comment le montrer ?

Je ne vous demande pas toute la démo ( je ne sais pas si c'est long ou pas ) mais c'est juste pour avoir une idée.

Merci

Bonsoir,

comment peux tu reecrire Q,reunion denombrable de ...

Il faut que je réécrive Q comme réunion dénombrable d'intervalles, c'est ça ?

De singletons plutot,Q ne contient pas d'intervalles.

J'en ai aucune idée ...

Q s'ecrit comme la reunion denombrable : or un singleton est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue.

Ah, c'st juste ça !  merci.

Betement j'avais N comme ensemble dénombrable dans ma tete, mais évidemment avec Q c'est evident ...

Oui c'est tout simple apres t'utilises les proprietes d'une mesure et comme tu somme sur un ensemble dénombrable ca roule

Bonjour,

On considère la fonction définie par : .

Je veux appliquer le théorème de Lebesgue pour montrer que la limite de l'intégrale des est nulle. On a

* L'ensemble [0;1] est mesurable.
* Les fn sont mesurables et convergent p.p vers f telle que .

Je veux maintenant majorer les par une fonction sommable et j'obtiens :
,

Mon problème : cette inégalité n'est vraie que sur ]0;1] , mais je peux quand même conclure ou pas ?

Merci.

Bonsoir Rouliane

En effet, ça marche aussi car ta majoration doit fonctionner presque partout ce qui est le cas ici car est de mesure nulle.

Kaiser

Je pense que oui parce que l'inégalité est vraie presque partout, mais j'en suis pas sur ( c'est pas marqué dans l'énoncé du théorème )

Merci Kaiser

euh, t'es sur que ça marche ta majoration sur ]0,1] tout entier (pour les x proches de 0, ça fiche le camp à l'infini donc ça métonnerait que tu puisses majorer indépendamment de n.
En fait, je crois qu'appliquer le théorème de convergence dominée ici, c'est utiliser la grosse artillerie car on peut- s'en sortir par un calcul explicite de l'intégrale.

Kaiser

C'est parce que j'ai fait une erreur de frappe, c'est

non ?

OK !
Par contre, je viens de me rendre compte d'une chose : la limite des intégrales n'est pas nulle.

Kaiser

Je vois pas où tu veux en venir ?

Je peux appliquer Lebesgue, et je trouve donc que la limite fais 2.

Non ?

Oui tu peux appliquer Lebesgue mais comme dit plus haut, tu peux appliquer une méthode directe.

Ok, merci, effectivement je me suis planté en écrivant mon message.

la méthode directe est surement plus rapide, les intégrales se calculent facilement, mais c'est un exo d'application de Lebesgue très simple histoire de se chauffer un peu

OK, d'accord !

Une autre petite question : on a .

On me demande si elle est sommable sur [0;1] c'est vrai car elle est continue.

On me demande ensuite sur [1;+oo[. Faut-il que je procède de la même façon que l'intégrale de Riemann, à savoir dire qu'elle est continue sur [1;+oo[ et en +oo, ?
J'ai le droit de dire ça ?

oui tu as le droit car Riemann ou Lebesgue c'est la même chose dès que l'on parle de fonctions continues.

Kaiser

Ah merci.

Mais si la fonction n'est pas continue, on fait comment pour étudier au voisinage de l'infini par exemple ?

En général, tu as toujours affaire à des fonctions du genre continues, continues par morceaux ou du moins continues presque partout etc..
Cela dit, si tu as affaire à des fonctions un peu étrange et que l'on fait du Lebesgue et pas de Riemann voir ce qui se passe en l'infini n'a pas forcément de sens.
En effet, on regarde si la fonction est "globalement" intégrable et non pas au voisinage d'un point.
Par exemple, un truc qui n'a peut-être rien à voir mais juste pour essayer de me faire comprendre:

En Lebesgue, on écrit et non pas .

Je ne sais pas si tu vois où je veux en venir.

Kaiser