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la Forme exponentielle d'un nombre complexe

Posté par
Anass_Storm 15-07-14 à 15:18

bonjour , je me suis bloqué sur un exercice :
donner la forme exponentielle de ce nombre complexe : 1+e(i(8pi/7))
Merci d'avance

Posté par
pythre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 15-07-14 à 15:21

factorise par e^{4i\pi/7}

Posté par
verdurinre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 15-07-14 à 15:33

Bonjour,
on peut aussi faire un petit dessin
\vec{J'A} a pour affixe 1+\exp\bigl(\frac{8i\pi}7\bigr)

la Forme exponentielle d\'un nombre complexe

Posté par
delta-Bre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 17-07-14 à 00:11

Bonsoir.

@ Verdurin

Ton post aide-il à trouver la forme exponentielle de nombre complexe  z= 1+e^{8\pi i/7}.

En utilisant l'indication donné par Pyth d'un côté  et en calculant directement le module et l'argument de z de l'autre on arrive à l'égalité non triviale \arctan\left(\dfrac{\sin(\pi /7)}{1-\cos(\pi /7)}\right)=\dfrac{3\pi}{7} \\

Posté par
Anass_Stormre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 17-07-14 à 19:11

Bonjour, @Pyth ,j'ai factorisé e j'ai utiliser cos(x)=(exp(ix)+exp(-ix))/2 et j'ai trouvé 2cos(4pi/7)*exp(4pi/7i) le probleme ce que cet exercice appartient a un QCM alors parmi les reponses qu'on a : 2cos(4pi/7)exp(pi11i/7)  //  2cos(11pi/7)exp(i11pi/7)  //  2sin(4pi/7)exp(i11pi/7)  //   -exp(8pi/7)  //  exp(8pi/7)
Merci pour vos reponses

Posté par
pythre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 17-07-14 à 22:33

e^{8i\pi/7}=2.e^{4i\pi/7}cos(4i\pi/7)=2(-e^{4i\pi/7+\pi}).(-cos(4i\pi/7+\pi))

C'est donc la 2è réponse

Posté par
pythre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 17-07-14 à 22:34

Il n'y à pas de "i" dans les cosinus (erreure de copier coller)

e^{8i\pi/7}=2.e^{4i\pi/7}cos(4\pi/7)=2(-e^{4i\pi/7+\pi}).(-cos(4\pi/7+\pi))

C'est donc la 2è réponse

Posté par
verdurinre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 17-07-14 à 22:43

Bonsoir delta-B
le théorème de l'angle inscrit permet de trouver directement l'argument de 1+\exp\bigl(\frac{8i\pi}7\bigr)

Posté par
Anass_Stormre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 19-07-14 à 19:49

mercii mercii beaucoup , cela m a aidé

Posté par
carpediemre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 20-07-14 à 09:25

salut

1 + e^{i\frac {8\pi}{7}} = 1 - e^{i \frac {\pi}{7}} = 2e^{-i\frac {\pi}{14}} \left( \frac {e^{i \frac {\pi}{14}} - e^{-i\frac {\pi}{14}}}{2} \right) = 2sin \frac {\pi}{14}e^{i\frac {\pi}{14}}

....

Posté par
alainpaulre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 20-07-14 à 09:50

Bonjour,

La question posée n'est pas très claire:

z=1+e^{i\frac{8\pi}{7}} est déjà une forme exponentielle,
je pourrais aussi l'écrire:
e^{2ki\pi}+e^{i\frac{8\pi}{7}}  , k entier.

L'expression proposé par carpediem (à retenir!) permet le calcul direct de
puissances et de racines de z,



Alain

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 20-07-14 à 09:58

Il manque un "i" dans la réponse de carpediem.

1 + e^{i.\frac{8\pi}{7}} = e^{i.\frac{4\pi}{7}} * (e^{i.\frac{-4\pi}{7}} + e^{i.\frac{4\pi}{7}}) = 2.cos(\frac{4\pi}{7} ).e^{i.\frac{4\pi}{7}}

Posté par
carpediemre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 20-07-14 à 10:09

ha oui ....

il faut rester avec 4pi/7 ....

Posté par
carpediemre : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 20-07-14 à 10:11

et merci J-p pour le latex ... certes plus fastidieux à écrire ... mais tellement plus agréable pour le lecteur ...

Posté par
Manga2re : la Forme exponentielle d'un nombre complexe 20-07-14 à 13:14

Bonjour,

De façon général:

e^{ia}+e^{ib}=e^{i\frac{a+b}{2}}\left( e^{i\frac{a-b}{2}}+e^{-i\frac{a-b}{2}}\right) \\ \\ =2cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right) e^{i\frac{a+b}{2}}

Si cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)=0 alors e^{ia}+e^{ib}=0.

Si cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)>0 alors e^{ia}+e^{ib}=2cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right) e^{i\frac{a+b}{2}}

Si cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)<0 alors:

2cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right) e^{i\frac{a+b}{2}}=2\left( -cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\right)\left( -e^{i\frac{a+b}{2}}\right) \\ \\ =2cos\left(\pi +\dfrac{a-b}{2}\right) e^{i\frac{a+b-2\pi}{2}}

Donc e^{ia}+e^{ib}=2cos\left(\pi +\dfrac{a-b}{2}\right) e^{i\frac{a+b-2\pi}{2}}


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