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Le pivot de gauss ne marche jamais !!

Posté par
nariane 16-06-15 à 22:17

Bonsoir, voilà ça fait 3 heures que j'essaye d'inverser une matrice avec la méthode du pivot de gauss mais je n'y arrive pas. A chaque fois j'ai un nouveau résultat qui est toujours faux. Et ce qui est pire, c'est que quand je vérifie, je n'arrive pas à trouver une faute de calcul !

Il y'a sûrement quelque chose que je n'ai pas compris dans la méthode. Le résultat que j'obtiens est trèèès loin du vrai résultat.

Pouvez-vous m'aider ?

Posté par
jeveuxbientaiderre : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 16-06-15 à 22:29

Bonsoir !

Etrange comme conclusion ! Tu as un exemple où cela ne marcherait pas ?

Posté par
verdurinre : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 16-06-15 à 22:32

Bonsoir,
il est difficile de trouver une erreur dans un calcul que l'on ne voit pas.

Si tu veux une aide efficace, il faut donner tes calculs.

Posté par
narianere : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 16-06-15 à 22:38

Oui j'en ai beaucoup beaucoup. En voilà un :
$ \begin{pmatrix} \\ 0&1&1\\ \\ 1&0&2\\ \\ 1&-1&0\\ \\ \end{pmatrix}$ $ \begin{pmatrix} \\ 1&0&0\\ \\ 0&1&0\\ \\ 0&0&1\\ \\ \end{pmatrix}$

L1<->L3
$ \begin{pmatrix} \\ 1&-1&0\\ \\ 1&0&2\\ \\ 0&1&1\\ \\ \end{pmatrix}$ $ \begin{pmatrix} \\ 0&0&1\\ \\ 0&1&0\\ \\ 1&0&0\\ \\ \end{pmatrix}$

L2<-L2-L1
$ \begin{pmatrix} \\ 1&-1&0\\ \\ 0&1&2\\ \\ 0&1&1\\ \\ \end{pmatrix}$ $ \begin{pmatrix} \\ 0&0&1\\ \\ 0&1&-1\\ \\ 1&0&0\\ \\ \end{pmatrix}$

L3<-L3-L2
$ \begin{pmatrix} \\ 1&-1&0\\ \\ 0&1&2\\ \\ 0&0&-1\\ \\ \end{pmatrix}$ $ \begin{pmatrix} \\ 0&0&1\\ \\ 0&1&-1\\ \\ 1&-1&1\\ \\ \end{pmatrix}$

C2<-C2+C1
$ \begin{pmatrix} \\ 1&0&0\\ \\ 0&1&2\\ \\ 0&0&-1\\ \\ \end{pmatrix}$ $ \begin{pmatrix} \\ 0&0&1\\ \\ 0&1&-1\\ \\ 1&0&1\\ \\ \end{pmatrix}$

L2<-L2+2L3
$ \begin{pmatrix} \\ 1&0&0\\ \\ 0&1&0\\ \\ 0&0&-1\\ \\ \end{pmatrix}$ $ \begin{pmatrix} \\ 0&0&1\\ \\ 2&1&1\\ \\ 1&0&1\\ \\ \end{pmatrix}$

L3<- (-1)xL3
$ \begin{pmatrix} \\ 1&0&0\\ \\ 0&1&0\\ \\ 0&0&1\\ \\ \end{pmatrix}$ $ \begin{pmatrix} \\ 0&0&1\\ \\ 2&1&1\\ \\ -1&0&-1\\ \\ \end{pmatrix}$

C'est du n'importe quoi, l'inverse ne contient aucun zéro xD. Y'a vraiment quelque chose que j'ai complètement zappé xD et c'est pas dans le calcul mais le principe :/

Posté par
luzakre : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 16-06-15 à 22:59

Bonsoir !
Je n'ai pas regardé le détail de tes calculs mais pour avoir l'inverse d'une matrice il faut TOUJOURS procéder du même côté : soit les lignes, soit les colonnes pas un mélange des deux.

Et puis il vaut mieux être plus systématique : quand tu as le coefficient diagonal égal à 1 il faut l'utiliser pour mettre des 0 sur la colonne correspondante.

Par exemple après ton
L3<-L3-L2
  \begin{pmatrix} \\ 1&-1&0\\ \\ 0&1&2\\ \\ 0&0&-1\\ \\ \end{pmatrix}
il serait bon de faire L_1\gets L_1+L_2 ce qui donne
  \begin{pmatrix} \\ 1&0&2\\ \\ 0&1&2\\ \\ 0&0&-1\\ \\ \end{pmatrix}
en suivant par L_3\gets -L_3 et tu termines par L_1\gets L_1-2L_3,\;L_2\gets L_2-2L_3

La raison est que les manipulations de ligne reviennent par une multiplication à gauche par des matrices (dites de transvection) et pour les colonnes c'est un produit à droite.

Ta méthode convient pour résoudre un système pas pour obtenir l'inverse.

Posté par
verdurinre : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 16-06-15 à 23:04

Le problème vient de l'échange des colonnes : le produit de matrices n'est pas commutatif.

Posté par
lafol Moderateurre : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 16-06-15 à 23:05

Bonsoir

un moyen d'éviter cette erreur fréquente est de considérer qu'on travaille sur une unique matrice, à trois lignes et 6 colonnes : aucune raison de reproduire sur la colonne 4 les manip faites sur la colonne 1 ... on ne travaille QUE sur les lignes

(si on préfère ne travailler que sur les colonnes, alors on superpose A et I, et on travaille sur une matrice à 6 lignes et 3 colonnes)

Posté par
narianere : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 16-06-15 à 23:13

J'avais déjà fait un exemple en n'utilisant que les lignes, ça n'a pas marché non plus :/

Et maintenant je viens d'essayer ce que Luzak m'a proposé voici ce que je trouve :
$ \begin{pmatrix} \\ -2&1&0\\ \\ -2&1&-1\\ \\ 1&0&0\\ \\ \end{pmatrix}$

Et ce n'est pas du tout le résultat attendu !

Posté par
lafol Moderateurre : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 16-06-15 à 23:28

je ne comprends pas comment en suivant ce qu'il t'a dit, tu arrives à perdre les 0 sous la diagonale

Posté par Profil amethystere : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 17-06-15 à 06:46

bon salut tous!

je ne regarde pas le detail de toutes les réponses car j'ai tres peu de temps (évidemment puisque ce qui ce trouve écrit ci-dessous n'est pas un papier collé mais rédigé brutalement), je vois juste le dernier post de Lafol (il apparait donc que ce topic n'est pas solutionné)

je poste donc l'unique et seule méthode qui permet de résoudre des systèmes d'équations ou d'inverser des matrices inversibles au moyen du pivot de Gauss

à charge pour le camarade Nariane de l'appliquer

SOMMAIRE
1.Généralités
2.Exemple de résolution de systèmes d'équations par la méthode du pivôt de Gauss
3.Exemple d'inversion de matrice inversible par la méthode du pivôt de Gauss

1.Généralités

la méthode de calcul de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dite méthode du pivôt consiste à partir d'un système d'équations initial d'effectuer des boucles de transformations sur ce système où à chacune des boucles on passe par trois transformateurs différents pris dans l'ordre d'abord t_1 , puis t_2 puis ensuite   t_3 pour revenir au premier transformateur  t_1 et ainsi de suite jusqu'à résolution

chaque passage dans un transformateur transformant le système (ormis le cas de la transformation par  t_1 lorsque le pivôt que l'on choisit est l'unité)

les passages par les transformateurs obeissent à des règles bien précises qui seront donnés dans les exemples qui suivent ce chapitre

-la transformation t_1 divise une équation par le pivôt qui lui appartiens
et dans le cadre d'une inversion de matrice cela correspond à la division d'une ligne par le pivôt sur lequel se trouve cette ligne

-la transformation t_2 échange de position entre deux équations
et dans le cadre d'une inversion de matrice cela correspond à l'échange entre deux lignes de cette matrice

-la transformation t_3 définit des ajoûts

les passages par les transformateurs obeissent à des règles bien précises qui seront donnés dans les exemples qui suivent ce chapitre

2.Exemple de résolution de systèmes d'équations par la méthode du pivôt de Gauss

on prend l'exemple du système

\begin {Bmatrix} 2X+3Y+6Z=9\mbox {   Equation I }  \\3X+2Y+17Z=20 \mbox {   Equation II }  \\ X+4Y+(-2)Z=7\mbox {   Equation III }  \end {matrix}

______________________________________________
passage par le transformateur t_1

On choisit le pivôt 1 situé sur l'EQUATION III comme étant le coefficient de X de sorte que la transformation t_1 ne transforme en rien le système

\begin {Bmatrix} 2X+3Y+6Z=9\mbox {   Equation I }  \\3X+2Y+17Z=20 \mbox {   Equation II }  \\ X+4Y+(-2)Z=7\mbox {   Equation III }  \end {matrix}\rightarrow t_1  

t_1   \rightarrow \begin {Bmatrix} 2X+3Y+6Z=9\mbox {   Equation I }  \\3X+2Y+17Z=20 \mbox {   Equation II }  \\ X+4Y+(-2)Z=7\mbox {   Equation III }  \end {matrix}

______________________________________________
passage par le transformateur t_2

On effectue un échange entre les EQUATION I et EQUATION III
en fait l'EQUATION III là où se trouve le pivôt que l'on a choisit dans la transformation précédente
cette EQUATION III que l'on place en première position ne pourra plus être échangée par la suite

\begin {Bmatrix} 2X+3Y+6Z=9\mbox {   Equation I }  \\3X+2Y+17Z=20 \mbox {   Equation II }  \\ X+4Y+(-2)Z=7\mbox {   Equation III }  \end {matrix}\rightarrow t_2  

t_2   \rightarrow \begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\3X+2Y+17Z=20 \mbox {   Equation II }  \\ 2X+3Y+6Z=9 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}

______________________________________________
passage par le transformateur t_3

On effectue des ajoûts  afin d'éliminer les variables X des equations EQUATION II et EQUATION III

E_2-3E_1  deviens E_2

E_3-2E_1  deviens E_3



   \begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\3X+2Y+17Z=20 \mbox {   Equation II }  \\ 2X+3Y+6Z=9 \mbox {   Equation III }  \end {matrix} \rightarrow t_3  

t_3   \rightarrow \begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\(-10)Y+23Z=-1 \mbox {   Equation II }  \\ (-5)Y+10Z=-5 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}

______________________________________________
passage par le transformateur t_1

on effectue la division par pivôt (-5) situé sur la troisième équation

  \begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\(-10)Y+23Z=-1 \mbox {   Equation II }  \\ (-5)Y+10Z=-5 \mbox {   Equation III }  \end {matrix} \rightarrow t_1  

t_1   \rightarrow \begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\(-10)Y+23Z=-1 \mbox {   Equation II }  \\ Y+(-2)Z=1 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}

______________________________________________
passage par le transformateur t_2

On effectue un échange entre les EQUATION II et EQUATION III
en fait l'EQUATION III là où se trouve le pivôt que l'on a choisit dans la transformation précédente
cette EQUATION III que l'on place en deuxième position  ne pourra plus être échangée par la suite

  \begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\(-10)Y+23Z=-1 \mbox {   Equation II }  \\ Y+(-2)Z=1 \mbox {   Equation III }  \end {matrix} \rightarrow t_2  

t_2   \rightarrow \begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\Y+(-2)Z=1   \mbox {   Equation II }  \\ (-10)Y+23Z=-1 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}  


______________________________________________
passage par le transformateur t_3

On effectue des ajoûts  afin d'éliminer la variable Y de la première  EQUATION I et de la troisième EQUATION III


E_1-4E_2  deviens E_1

E_3+10E_2  deviens E_3

  \begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mbox {   Equation I }  \\Y+(-2)Z=1   \mbox {   Equation II }  \\ (-10)Y+23Z=-1 \mbox {   Equation III }  \end {matrix} \rightarrow t_3  

t_3   \rightarrow \begin {Bmatrix} X+6Z=3 \mbox {   Equation I }  \\Y+(-2)Z=1   \mbox {   Equation II }  \\   3Z=9 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}  


_____________________________________________
passage par le transformateur t_1

on effectue la division par pivôt (3) situé sur la troisième équation

  \begin {Bmatrix} X+6Z=3 \mbox {   Equation I }  \\Y+(-2)Z=1   \mbox {   Equation II }  \\   3Z=9 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}\rightarrow t_1  

t_1   \rightarrow \begin {Bmatrix} X+6Z=3 \mbox {   Equation I }  \\Y+(-2)Z=1   \mbox {   Equation II }  \\   Z=3 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}  
  

______________________________________________
passage par le transformateur t_2

On ne peut plus faire d'échange d'équations  

______________________________________________
passage par le transformateur t_3

On effectue des ajoûts  afin d'éliminer la variable Z de la première  EQUATION I et de la deuxième EQUATION II


E_1-6E_3  deviens E_1

E_2+2E_3  deviens E_2

\begin {Bmatrix} X+6Z=3 \mbox {   Equation I }  \\Y+(-2)Z=1   \mbox {   Equation II }  \\   Z=3 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}\rightarrow t_3  

t_3   \rightarrow \begin {Bmatrix} X =-15 \mbox {   Equation I }  \\Y=7   \mbox {   Equation II }  \\   Z=3 \mbox {   Equation III }  \end {matrix}  
    



3.Exemple d'inversion de matrice inversible par la méthode du pivôt de Gauss

on prend l'exemple avec la matrice A=\begin {pmatrix}2&1&0\\1&0&1\\5&1&2\end {pmatrix}

tout d'abord on commence par construire une matrice dont le bloc situé à droite représente la matrice identité du groupe  (\mathcal {G}_{l_3},.)

on obtiens donc la matrice

\begin {pmatrix}2&1&0&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\5&1&2&0&0&1\end {pmatrix}

afin que dans l'explication on puisse repérer l'élément pivôt dont on parle

la composante a_{ij}  de cette matrice désigne la composante située à la i ième ligne et à la j ième colonne  

le principe étant ici de transformer cette matrice de telle sorte que le bloc de gauche représente la matrice identité du groupe  (\mathcal {G}_{l_3},.) et le bloc de droite représente l'inverse de la matrice A


______________________________________________
passage par le transformateur t_1

on choisit le pivôt 1 de la composante a_{21}

\begin {pmatrix}2&1&0&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\5&1&2&0&0&1\end {pmatrix}\rightarrow t_1

t_1   \rightarrow \begin {pmatrix}2&1&0&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\5&1&2&0&0&1\end {pmatrix}

______________________________________________
passage par le transformateur t_2

on échange les lignes 1 et 2

\begin {pmatrix}2&1&0&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\5&1&2&0&0&1\end {pmatrix} \rightarrow t_2  

t_2   \rightarrow \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\2&1&0&1&0&0\\5&1&2&0&0&1\end {pmatrix}

______________________________________________
passage par le transformateur t_3

on effectue l'ajoût

L_2-2L_1  deviens L_2

L_3-5L_1  deviens L_3

\begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\2&1&0&1&0&0\\5&1&2&0&0&1\end {pmatrix}  \rightarrow t_3  

t_3   \rightarrow \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&1&-3&0&-5&1\end {pmatrix}

______________________________________________
passage par le transformateur t_1

on choisit le pivôt 1 de la composante a_{22}

  \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&1&-3&0&-5&1\end {pmatrix}\rightarrow t_1  

t_1   \rightarrow  \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&1&-3&0&-5&1\end {pmatrix}


______________________________________________
passage par le transformateur t_2

on effectue pas d'échange


______________________________________________
passage par le transformateur t_3

on effectue l'ajoût

L_3-L_2  deviens L_3



  \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&1&-3&0&-5&1\end {pmatrix}\rightarrow t_3  

t_3   \rightarrow \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&0&-1&-1&-3&1\end {pmatrix}

______________________________________________
passage par le transformateur t_1

on choisit le pivôt -1 de la composante a_{33}

  \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&0&-1&-1&-3&1\end {pmatrix} \rightarrow t_1  

t_1   \rightarrow \begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&0&1&1&3&-1\end {pmatrix}

______________________________________________
passage par le transformateur t_2

on effectue pas d'échange

______________________________________________
passage par le transformateur t_3

on effectue l'ajoût

L_1-L_3  deviens L_1

L_2+2L_3  deviens L_2

\begin {pmatrix}1&0&1&0&1&0\\0&1&-2&1&-2&0\\0&0&1&1&3&-1\end {pmatrix}\rightarrow t_3  

t_3   \rightarrow \begin {pmatrix}1&0&0&-1&-2&1\\0&1&0&3&4&-2\\0&0&1&1&3&-1\end {pmatrix}

_____________________________________________


on obtiens donc A^{-1}=\begin {pmatrix}-1&-2&1\\3&4&-2\\1&3&-1\end {pmatrix}


Posté par
luzakre : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 17-06-15 à 09:30

Bonjour !
J'ai repris le début de tes calculs et complété par mes indications. Il me semble trouver la bonne inverse.

Citation :
Oui j'en ai beaucoup beaucoup. En voilà un :

  \begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\1&-1&0\\\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}
L1<->L3
  \begin{pmatrix}1&-1&0\\1&0&2\\0&1&1\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}
L2<-L2-L1
\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&2\\0&1&1\\\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&-1\\1&0&0\\\end{pmatrix}

Par exemple après ton
L3<-L3-L2
  \begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&2\\0&0&-1\\\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&-1\\1&-1&1\\\end{pmatrix}$
il serait bon de faire L_1\gets L_1+L_2 ce qui donne
  \begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&2\\0&0&-1\\\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&-1\\1&-1&1\\\end{pmatrix}$
en suivant par L_3\gets -L_3
  \begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&2\\0&0&1\\\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&-1\\-1&1&-1\\\end{pmatrix}$
et tu termines par
L_1\gets L_1-2L_3,\;L_2\gets L_2-2L_3
  \begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&2\\0&0&1\\\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}2&-1&2\\2&-1&1\\-1&1&-1\\\end{pmatrix}$

Posté par Profil amethystere : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 17-06-15 à 10:07

c'est dommage pour lui camarade Lusak car  mon explication est tellement détaillée

que si il suit à la lettre mon explication il doit être en mesure de trouver tout seul ...

franchement mon explication est d'une clareté limpide

(et d'ailleurs on trouve pas mieux sur le net )

Posté par
Robotre : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 17-06-15 à 10:09

Il faut bien sûr lire que la matrice de gauche de la dernière ligne est le matrice identité.

Posté par Profil amethystere : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 17-06-15 à 10:12

Robot je lui ai dit dans mon explication

non franchement là il trouvera pas mieux que mon explication

j'ai même recherché sur le net voir si il y avait mieux mais c'est zero!

y a pas photo camarade

Posté par
narianere : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 17-06-15 à 10:13

Merci beaucoup ça marche enfin les gars mais il faudra vraiment que je fasse attention aux fautes de calcul xD

Je pensais que c'est comme les déterminants, on peut mélanger les op elem sur les lignes et colonnes c'est pour ça que j'étais tombé dans le piège :p

Posté par Profil amethystere : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 17-06-15 à 10:15

regarde surtout mon explication Nariane tu trouvera rien de mieux et j'ai pris mon temps cette nuit pour faire un truc soigné et limpide

Posté par
narianere : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 17-06-15 à 10:26

Ah oui merci elle est très rapide surtout l'opération t1 dont je n'avais aucune idée, moi j'avais tendance à faire des opérations un peu au pif xD

Posté par Profil amethystere : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 17-06-15 à 10:31

la t1 c'est le choix du pivot sans la t1 on aurait pas appelé ça la methode du pivot camarade

mais relis bien tout attentivement cet exposé et ça te restera toute ta vie dans la tête (même apres un AVC)  

Posté par
narianere : Le pivot de gauss ne marche jamais !! 17-06-15 à 10:43

C'est refait merci beaucoup


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