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Leibniz (ECS2)

Posté par yamiaso (invité) 22-09-07 à 09:56

Bonjour, voici mon exercice :

U_n (x) = f_n^{(n)} (x) avec f_n (x) = x^n lnx
Démontrer qu'il existe 2 suites de réels (\alpha_n) et (\beta_n) telles que pour tout entier n et tout réel strictement positif x, on ait U_n (x) = \alpha_n ln x + \beta_n.

J'ai regardé ce que cela donnait pour les 1ers termes :

U_0 = lnx \\ U_1 = lnx + 1 \\ U_2 = 2lnx + 3 \\ U_3 = 6lnx + 11

On peut penser que \alpha_n = n!
Par contre, c'est plus compliqué pour \beta_n

Notre prof nous a donné les réponses pour nous aider :
\alpha_n = n! \\ \beta_{n+1} = \alpha_n + (n+1)\beta_n
mais je voudrais bien savoir comment trouver \beta_n ! J'ai essayé par récurrence, en utilisant Leibniz, mais je ne débouche sur rien...

Merci d'avance

Posté par
raymond CorrecteurLeibniz (ECS2) 22-09-07 à 10:06

Bonjour.

Utilise la formule de Leibnitz.

A plus RR.

Posté par yamiaso (invité)re : Leibniz (ECS2) 22-09-07 à 10:09

C'est ce que j'ai fait, mais je ne débouche sur rien...

Merci

Posté par
raymond Correcteurre : Leibniz (ECS2) 22-09-07 à 10:27

3$\textrm f_{n}^{(n)}(x) = \Bigsum_{k=0}^{n}{n\choose k}(x^n)^{(k)}(lnx)^{(n-k)}

Dans ce sigma le logarithme ne va figurer qu'une fois : dérivée d'ordre 0, donc k = n.

Il faut donc écrire :

3$\textrm f_{n}^{(n)}(x) = (x^n)^{(n)}(lnx) + \Bigsum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}(x^n)^{(k)}(lnx)^{(n-k)}

Maintenant, tu cherches, pour k compris entre 0 et n-1 :

3$\textrm 1) (x^n)^{(k)}

3$\textrm 2) (lnx)^{(n-k)}

A plus RR.

Posté par yamiaso (invité)re : Leibniz (ECS2) 22-09-07 à 11:01

(x^n)^{(k)} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) x^{n-k} \\ \\ \\ (lnx)^{(n-k)} = (-1)^{(n-k-1)} (n-k-1)! \times \frac{1}{x^{(n-k)}}

donc on obtient après simplification :

f_n^{(n)} = n! lnx + \sum_{k=0}^{n-1} \(n\\k\) (-1)^{(n-k-1)} \\ \\ = n! lnx - \sum_{k=0}^{n-1} \(n\\k\) (-1)^{(n-k)} \\ \\ = n! lnx - \sum_{k=0}^n \(n\\k\) (-1)^{(n-k)} - \(n\\n-1\) \\ \\ = n! lnx - n

C'est donc bon pour \alpha_n mais je n'obtiens toujours pas \beta_n

Merci !

Posté par
raymond Correcteurre : Leibniz (ECS2) 22-09-07 à 11:15

Tu as remarqué que dans le sigma les "x" disparaissent, donc, il s'agit bien de la constante \beta_n.

Si tu relis ton énoncé, on te demande l'existence, pas la détermination.

Pour trouver la relation de récurrence, tu supposes que :

3$\textrm f_{n}^{(n)}(x) = \alpha_n.ln(x) + \beta_n

puis tu passes au rang suivant.

A plus RR.

Posté par yamiaso (invité)re : Leibniz (ECS2) 22-09-07 à 12:10

C'est bon, ça marche !

Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
raymond Correcteurre : Leibniz (ECS2) 22-09-07 à 13:27

Heureux d'avoir pu t'aider.

A plus RR.


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