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Niveau Maths sup
les complexes [colle de maths]
Posté par maths-rix
Bonjour,
Voila l'exo que j'ai en colle de maths hier.
Soit un entier naturel n 
2
1) développer . ce qui donne :
2) On pose :
Calculer
est ce que vous pouvez m'aider à le résoudre s'il vous plait ?
je me souviens de ce résultat :
(1+1)n= S1+S2+S3
(1+j)n= S1+j.S2+j².S3
(1+j²)n=S1+j².S2+j.S3
Mais je ne sais plus comment y arriver !
bonsoir,
tu développes simplement par la formule du binôme et tu utilises le fait que j3k=1,j3k+1=j et j3k+2=j2
(j2)3k=1,(j2)3k+1=j2et
(j2)3k+2=j
ensuite dans chaque somme tu regroupes les termes en j,les termes en j²
en ajoutant membre à membre les 3 égalités tu auras S1
pour avoir S2tu multiplies la première égalité parj²,la seconde par j et tu les ajoutes
bonsoir !
Dévelope (1+j)^n avec la formule du binome. (si tu y arrive pas ecrit toujours ce que tu trouve... )
pour k=3p jk=1 tu regroupes tous ces termes cela va donner S1
pour k=3p+1 jk=j tu regroupes tous les termesj cela va donner jS2
pour k=3p+2 j3k=j² tu regroupes tous les termesj² tu auras j²S"
Bon, ok, mai en géneral que vaut j^n ?
j^1=j
j^2=j^2
j^3=1
j^4=j
j^5=j^2
de facon géneral j^(3*k+u)=j^u
donc ttu peut séparer ta somme en trois parti selon que k soit congru a 0 1 ou 2 modulo 3...
ecrit ceci avec 3 somme indéxé par {0<=k<=n,k congru a u modulo 3} avec u=0, 1 ou 2...
d'accord je comprends mieux
maintenant on a le système suivant :
(1+1)^n= S1+S2+S3
(1+j)^n= S1+j.S2+j².S3
(1+j²)^n=S1+j².S2+j.S3
il faut peut être calculer les modules de
(1+1) , (1+j) , (1+j²) pour simplifier l'expression non ? (enfin c'est ce que ma prof de maths m'a conseillé !
(1+j)=(-j²)=>(1+j)n=(-j²)n=ein
/3
(1+j²)=(-j)=>(1+j²)n=e-in/3
tu en déduis
3S1=2n+ein/3+e-in/3
S1 =[2n+2cosn/3]/3
.....