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Les fonctions de référence
Bonjour ...pouvez vous m'aider à faire l'exercice suivant
svp ....
Soit une fonction f , définie sur R .
1)Montrer ,en s'aidant de la figure ci-après(je ne voix pa comment on
fait pour poster cette figure ...mais si vous me donner votre adresse
d'email ...je peut vous l'envoyer ) ,que la courbe représentative
de f admet ,dans un repère orthogonal,un axe de symétrie d'équation
x=a si,et seulement si ,tout x , f(a-x)=f(a+x).
2)Montrer que pour a=0 , on retrouve la définition des fonctions paires.
3) En utilisant cette propriété ,prouver que la fonction f , définie
sur R par f(x)=x^2 +2x -3 ,a une représentation graphique qui admet
un axe de symétrie d'équation x =-1.
4)En utilisant une calculatrice graphique ,un tableur ou un traceur de
courbes, observer la représentation graphique des fonctions f,g,h
et i définies par les expressions ci-dessous.Conjecturer l'existence
d'un axe de symétrie et prouver cette existence en utilisant
la propriété démontrée dans la question 1).
f(x)=x^2 -3x+2
g(x)= 3x^2 -2x+3
h(x)=(x^2 +2x+1)/(x^2 +2x +2)
i(x)=1/(x^2 -2x +2 )
5)En utilisant cette meme propriété ,prouver que la représentation graphique
de toutes les fonctions f , définies sur R par
f(x)=ax^2 +bx+c (a n'est pa égal à 0),
admet dans un repère orthogonal un axe de symétrie d'équation
x =- b/2a .
Merci d'avance
Bonjour,
1) D'après la figure, les points d'abscisses (a-x) et (a+x)
sont symétriques par rapport à la droite d'équation x=a si et
seulement leurs ordonnées sont égales donc ssi f(a-x)=f(a+x).
2)Pour a=0, on a : f(x)=f(-x) ce qui correspond à la propriété des fonction
paire. Leur courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe
des ordonnées.
3) En utilisant cette propriété ,prouver que la fonction f , définie
sur R par f(x)=x^2 +2x -3 ,a une représentation graphique qui admet
un axe de symétrie d'équation x =-1.
f(-1+x)=(-1+x)²+2(-1+x)-3
=1-2x+x²-2+2x-3=x²-4
f(-1-x)=(-1-x)²+2(-1-x)-3
=1+2x+x²-2-2x-3=x²-4
Donc f(-1-x)=f(-1+x)
La droite d'équation x=-1 est donc un axe de symétrie de la courbe.
4)En utilisant une calculatrice graphique ,un tableur ou un traceur de
courbes, observer la représentation graphique des fonctions f,g,h
et i définies par les expressions ci-dessous.Conjecturer l'existence
d'un axe de symétrie et prouver cette existence en utilisant
la propriété démontrée dans la question 1).
f(x)=x² -3x+2
axe de symétrie : x=3/2
g(x)= 3x^2 -2x+3
axe de symétrie : x=1/3
h(x)=(x^2 +2x+1)/(x^2 +2x +2)
axe de symétrie : x=-1
i(x)=1/(x^2 -2x +2 )
axe de symétrie : x=1
A démontrer.
5)
Calculons :
f(-b/2a+x)=a(-b/2a+x)²+b(-b/2a+x)+c
=a(x²-bx/a+b²/4a²)-b²/2a+bx+c
=ax²-bx+b²/4a-b²/2a+bx+c
=ax²+c-b²/4a
On vérifie que
f(-b/2a-x)=ax²+c-b²/4a
Et on conclut.
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