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Niveau Maths sup
Les sous groupe finis de (C*, x) sont les racines n-iemes
Posté par Lupa99
Bonjour à tous,
Voici un petit exo que j'ai du mal à faire :
Montrer que les sous groupes finis de (
, x) sont exactement les sous-groupes de racines n-ièmes de l'unité, n 
Pour commencer, je voulais montrer que forcément, le module d'un nombre complexe appartenant à un sous ensemble finis et égale à 1 :
Soit H un sous groupe de (, x):
Soit a dans H
Supposons que |a| 
1
Et là je ne sais pas comment formaliser, comment exprimer proprement que comme a*a est dans H, alors est aussi dans H, mais qu'il y en a une infinité puisque pour tout entier naturels p, q, p
q on a :
Bonjour Lupa99
Il faut raisonner comme suit :
Soit .
Alors donc la famille
est infini.
Il faut alors conclure comme suit : si sous-groupe fini de il y a, compte tenu de l'hypothèse, il est nécessairement inclus dans le cercle unité.
Ensuite, on travaille dans le cercle unité.
OK d'accord je vois.
Mais je bloque quand même pour la suite, je vois bien "visuellement" que ça correspond aux racines de l'unité, car sur le cercle unité il y a un nombre fini de points.
Mais comment montrer que si on a autre chose que , alors forcément il y en a une infinité de point ?
Je suppose que je dois poser n l'ordre du sous-groupe, mais ensuite je sais pas trop...