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Lieu d'un point dans le plan complexe

Posté par
mikel83
11-03-20 à 20:26

Bonjour à tous!
J'ai un point M d'affixe z et un point M' d'affixe z' tels que |z'+4|=|z-2|²
Le point M parcourt la demi droite d'origine I d'affixe 2 et formant un angle de pi/4 avec l'axe des abscisses avec M différent de I
Comment trouver le lieu du point M'?

Posté par
XZ19
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 11-03-20 à 20:51

Bonjour
|z-2|  prenant toutes les valeurs possibles  le lieu  des donc le plan \C entier
(excepté  -4  si  I  est exclus).  
Maintenant j'ai un doute dur m'énoncé

Posté par
XZ19
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 11-03-20 à 20:51

le lieu est alors  le  ...

Posté par
XZ19
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 11-03-20 à 20:52

correction :  j'ai un doute sur l'énoncé

Posté par
mikel83
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 11-03-20 à 21:06

Merci pour ta réponse.
Mais je  n'ai pas bien compris. commente |z-2| prend toutes les valeurs  si z se déplace  uniquement sur une droite ?

Posté par
verdurin
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 11-03-20 à 21:16

Bonsoir,
j'ai aussi un doute sur l'énoncé.
N'y a t-il pas des parenthèses plutôt que des | ?

Il y a beaucoup de valeurs possibles pour z' si on ne connaît que |z'+4|.
En fait le point M' peut-être n'importe où sur un cercle dont le centre a pour affixe 4.

Posté par
mikel83
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 11-03-20 à 21:31

Voici l'énoncé :
On considère l'application f qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle que z'=f(z)=z²-4z
a) vérifier que pour tout z on a  z'+4=(z-2)²
b) déduire une relation entre |z'+4| et |z-2| , et si z différent de 2, une relation entre  arg(z'+4) et arg(z-2)
c) interpréter géométriquement en terme de distance et de mesure d'angle
d) que dire du point M'  lorsque M décrit la demi droite d'origine I avec M différent  de I et tel que (vect u; vec IM)=pi/4 , autrement dit la demi droite d'origine I et formant un angle de PI/4 radians avec l'axe des abscisses ?

** image supprimée **

Posté par
verdurin
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 11-03-20 à 21:41

On a donc z'+4=(z-2)2.
Quelle relation y a-t-il entre leurs arguments ?

Posté par
mikel83
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 12-03-20 à 01:25

on a  arg (z'+4)=2*arg(z-2)   ?

Posté par
verdurin
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 12-03-20 à 07:29

Oui.
Tu as donc le module et l'argument de z'+4 en fonction de ceux de z-2.

La question devient :
Quand M parcourt la demi-droite, quel est l'argument de z-2 ? Quelles sont les valeurs que peut prendre |z-2|2 ?

Posté par
mikel83
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 12-03-20 à 07:50

Bonjour!
Si z est sur la droite , comment exprimer  |z-2| ???

Posté par
luzak
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 12-03-20 à 08:43

Bonjour !
Si tu restes sur une demi-droite d'angle polaire \dfrac{\pi}4 il suffit d'écrire z-2=\rho(1+i),\;\rho\in\R_+
Et il te reste à calculer z'+4.

Posté par
mikel83
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 12-03-20 à 10:44

Pourquoi z-2=(1+i) ?

Posté par
luzak
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 12-03-20 à 12:25

Parce que 1+\mathrm{i} est l'affixe d'un vecteur d'angle polaire \dfrac{\pi}4

Posté par
mikel83
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 12-03-20 à 12:33

OK!  Merci
Je peux donc dire que  arg(z+2)=pi/3?

Posté par
mikel83
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 12-03-20 à 14:13

pi/4, désolé ...

Posté par
verdurin
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 12-03-20 à 14:48

Tu peux le dire. Et si tu remplace z+2 par z-2 c'est juste.

Ensuite tu peux en déduire un argument de z'+4.

Posté par
mikel83
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 12-03-20 à 15:40

OK ! Merci à tous pour votre aide ...

Posté par
verdurin
re : Lieu d'un point dans le plan complexe 12-03-20 à 16:52

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