Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première LimitesTopics traitant de limites [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 3 4 +

Niveau première
Partager :

Limite

Posté par
_Estelle_ 19-06-06 à 09:34

Bonjour,

Je cherche 4$ \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{1+h}+1} et je ne la trouve pas ^^.

Merci d'avance.

Estelle

Posté par
Tigweg Correcteurre : Limite 19-06-06 à 09:42

Salut Estelle,

où est ton probleme exactement?Tu as une fonction de h,définie et continue en 0.
Si tu remplaces h par 0 que trouves -tu?

Tigweg

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 09:47

Salut Tigweg,

3$ \frac{1}{2} ? Donc 3$ \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{1+h}+1} = \frac{1}{2}

Estelle

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 09:53

(C'était une question, besoin d'une confirmation).

Estelle

Posté par
Tigweg Correcteurre : Limite 19-06-06 à 09:56

Exact
Si jamais tu obtiens une forme indéterminée, pense à factoriser et/ou simplifier ton expression, ou à mettre en facteur le terme qui semble être prépondérant au voisinage du point vers lequel tend la variable.
Ex: pour x² - x en +infini, c'es x² le plus "gros", qu'obtiens -tu en factorisant?
Sinon tu peux aussi penser à la def d'une derivee :

pour la limite en 0 de ((h+2)^3 -8)/h, comment procedes-tu ?

Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : Limite 19-06-06 à 10:00

Pour ce dernier exemple, indique-moi aussi quelle fonction tu consideres

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 10:04

Merci .

En fait, au départ, la fonction était 3$ f: x\rightarrow\sqrt{x+2} et je cherchais à savoir si elle était dérivable en -1. Donc j'ai calculé le taux de variation de f entre -1 et 1+h c'est à dire 3$ \frac{\sqrt{h+1}-1}{h} soit 3$ \frac{1}{\sqrt{1+h}+1} et ai vérifié que l est bien une limite finie.

Pour ton exemple, je dois factoriser ?

Estelle

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 10:05

Je réfléchis à ton exemple avant de dire n'importe quoi

Estelle

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 10:08

Hum a^3-b^3 = ?

Il y a une formule, non ? (comme pour le 2nd degré) ?

Estelle

Posté par
Tigweg Correcteurre : Limite 19-06-06 à 10:15

tout-à-fait juste, ta résolution.
Il y a un peu plus simple car ta fct est de la forme g(ax+b) avec pour g la racine carrée, a =1 et b=2. Or la fct h: x->x+2 est derivable en -1 et la racine carrée est derivable en tout point de ]o;+infini[ en particuulier en h(-1) = 1
Ainsi f est derivable en x0=-1 et:

h'(-1) = h'(x0) = af'(x0) =
1*(1/2h(x0))=
1/(21 = 1/2

Sinon pour mon ^premier exemple i faut factoriser, et c'est pour mon deuxielme exemple que je te damandais quelle fct tu peux considerer

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 10:17

OK, merci, Tigweg.

Je trouve h(x)=2(h²+4).

Estelle

Posté par
Tigweg Correcteurre : Limite 19-06-06 à 10:20

Oui, mais là c'est pas nécessaire.
Mais je te la donne quand même : a^3 - b^3 = (a-b)(a²+ab+b²)

Si a different de 0 et de b, et que tu divises chaque membre par a^3 tu peux la rapprocher de la formule dopnnant la somme de 3 termes consécutifs d'une suite geom de raison b/a.Deuxieme methode : A b fixé, le polynome X^3 - b^3 admet b pour racine(immediat) donc on ^peut le factoriser par (X-b)
On obtient (X-b)(X²+bX+b²) pour tout X, en particulier pour X=a on retombe sur la formule

Posté par
Tigweg Correcteurre : Limite 19-06-06 à 10:23

"Je trouve h(x)=2(h²+4)" -> tu parles de quoi? du résultat de a^3 - b^3?
Je te demandais pour le 2è exemple , quelle est la fct admettant pour taux de variation (et en quel point) l'expression dont je te demande la limite.

Et au fait pour le premier exemple, tu as trouvé ?

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 10:32

Je réfléchis à tout ça.

Estelle

Posté par
Tigweg Correcteurre : Limite 19-06-06 à 10:34

Pas de probleme lol
Par contre je pensais que tu etais en 1è, et je vois que ce n'est pas le cas.
Peut-etre que je fais reference à des outils que tu n'as donc pas encore
Ne t'inquiete donc pas si ca te parait un peu compliqué, beaucoup d'eleves de 1è S sont loin d'etre a l'aise avec tout ca meme en fin d'année!

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 10:37

Effectivement, je suis (j'étais ^^) en 2nde.

Je cherche, et je reposte, merci.

Estelle

Posté par
Tigweg Correcteurre : Limite 19-06-06 à 10:41

En fait Estelle je suis désolé mais il faut que j'y aille...
Je passe la main à mes camarades, nombreux sont ceux qui pourront te dire si tes reponses sont justes

A plus tard et bon courage!

Tigweg

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 10:44

Pas de problème, merci beaucoup Tigweg.

Estelle

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 11:10

Je trouve une fonction de la forme h(x) = g(ax²+bx+c) avec g=(h+6), a=1, b=2 et c=4.

Donc le produit d'une constante par un polynôme.

C'est ça ? (Je cherche la limite).

Estelle

Posté par
Skopsre : Limite 19-06-06 à 11:14

La limite de quoi ?

Skops

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 11:16

3$\lim_{x\to0}\frac{(h+2)^3 -8}{h}

Estelle

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 11:17

Quand h tend vers 0, plutôt.

Estelle

Posté par
Nightmarere : Limite 19-06-06 à 11:19

Bonjour

L'idée d'utiliser la factorisation de \rm a^{3}-b^{3} est bonne

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 11:22

Bonjour,

En utilisant cette factorisation, je trouve f(h) = (h+6)(h²+2h+4).

Estelle

Posté par
Nightmarere : Limite 19-06-06 à 11:22

Qu'est-ce que f(h) ?

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 11:24

Un nombre ?

Estelle

Posté par
Nightmarere : Limite 19-06-06 à 11:26

Non mais je veux dire, que représente f(h) dans ton calcul ?
Quel rapport entre le f(h) que tu viens de trouver et la limite que tu cherches à calculer ?

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 11:30

Je cherche à calculer 3$ \lim_{h\to0}\frac{h+2)^3+8}{h}

Et je sais (sauf erreur) que 3$ \frac{h+2)^3+8}{h} = (h+6)(h^2+2h+4)

Estelle

Posté par
Nightmarere : Limite 19-06-06 à 11:32

Attention déjà, c'est 3$\rm (h+2)^{3}-8

Quelle factorisation de cette expression trouves-tu en utilisant la factorisation de \rm a^{3}-b^{3} ?

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 11:35

En utilisant a^3 - b^3 = (a-b)(a²+ab+b²), je trouve 3$ h^2+8h+16 .

Estelle

Posté par
Nightmarere : Limite 19-06-06 à 11:43

Hum non je ne crois pas :

3$\rm (h+2)^{3}-8=(h+2-2)[(h+2)^{2}+2(h+2)+2^{2}]=h(h^{2}+4h+12)
donc :
3$\rm \frac{(h+2)^{3}-8}{h}=h^{2}+4h+12

Conclus

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 11:47

J'avais fait une erreur de calcul, merci.

3$ \lim_{h\to 0} \frac{(h+2)^3-8}{h} = 12

Estelle

Posté par
Nightmarere : Limite 19-06-06 à 11:49

Voila

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 11:51

Merci .

Si on n'avait pas eu h au dénominateur, mais h+1, par exemple, la factorisation aurait-elle été nécessaire ? Il aurait suffit de calculer 3$ \frac{(h+2)^3-8}{h+1} avec h=0, non ?

Estelle

Posté par
Nightmarere : Limite 19-06-06 à 11:52

Oui, ce n'est plus une forme indéterminée là.

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 11:53

OK, merci beaucoup .

Estelle

Posté par
Nightmarere : Limite 19-06-06 à 11:54

Pas de problème

Tu peux aller voir ce post si ça t'interresse

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 11:55

A vrai dire, je l'avais déjà d'ouvert en onglet et il est dans mes favoris.

Merci.

Estelle

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 19-06-06 à 12:49

Et mes méthodes pour lever les indéterminations, j'espère que tu les as aussi enregistrées dans tes favoris ?

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 12:53

Justement, je les ai cherchées et je ne les ai pas trouvées !

Si tu as un lien...

Estelle

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 19-06-06 à 12:54

Je te propose :
https://www.ilemaths.net/sujet-limite-83809.html


Les méthodes ci-dessous permettent de lever la plupart des indéterminations vues au lycée. Il peut arriver qu'il soit nécessaire d'en combiner plusieurs, ou encore que plusieurs permettent indépendamment de résoudre l'exercice.

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

Quand 3$x\to +\infty, 3$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1

(2) [à condition d'avoir déjà vu en cours la notion de dérivée] reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{e^{x^2}-1}{x^2}=\frac{e^{x^2}-e^0}{x^2-0}\to \exp'(0)=\exp(0)=1

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

Quand 3$x\to +\infty, 3$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0

(4) dans le cas de la limite en un réel d'une fraction de polynômes, factoriser numérateur et dénominateur

Quand 3$x\to 1, 3$\frac{x^4+x^3-2}{x^3+x^2-2}=\frac{(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)}{(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+2x+2}\to\frac{7}{5}

(5) utiliser les formules trigonométriques

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{x}=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\sin x}{x}\to\sqrt{2}
Remarque : sur cet exemple, on aurait également pu utiliser la méthode (2).

(6) reconnaître une limite connue

Quand 3$x\to +\infty, 3$x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2

Exemples de limites connues :
3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}, 3$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0

(7) [hors programme] Règle de L'Hôpital
Théorème. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur ]a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que f(b)=g(b)=0 et que pour tout x de ]a, b[, g'(x)\neq 0. Alors, sous réserve d'existence de la seconde limite :
3$\lim_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Théorème. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur ]a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que \lim_{x\to b}f(x)=\lim_{x\to b}g(x)=+\infty et que pour tout x de ]a, b[, g'(x)\neq 0. Alors, sous réserve d'existence de la seconde limite :
3$\lim_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Nicolas

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 12:56

Merci Nicolas . Là aussi, t'avais LaTeX-ifié !

Une question : T'as fait un copier/coller, je suppose ?

Estelle

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 19-06-06 à 13:02

Bien sûr. J'en ai quelques-uns ainsi en stock.

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 13:03

Donc ma question réelle est : comment est-ce que tu copies/colles le LaTeX ? Lyonnais m'avait expliqué, mais j'ai pas bien saisi

Estelle

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 19-06-06 à 13:08

1. Si tu veux juste copier une expression, clique dessus avec le bouton droit, puis choisis "Propriétés" : tu dois trouver l'expression quelque part dans la boîte de dialogue.

2. Mais ce n'est pas pratique pour de longs textes (car cela oblige à copier les expressions les unes après les autres). Pour ma part, je garde toujours une copie du source (= du texte que je tape dans la boîte de message, avec les [ tex] etc...) de mes longs messages dans un fichier stocké dans mon ordinateur.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Limite 19-06-06 à 13:08

Resalut Estelle,

pour en revenir à ma fct, ton idée de factoriser a^3-b^3 était bonne, mais bien souvent les formes indeterminees sont en fait l'expression d'un taux de variation d'une fonction f particuliere entre un point a particulier et le point a+h avec h supposé très petit en valeur absolue, mais different de 0.

Ce taux est egal à (f(a+h)-f(a))/h.
si tu sais par ailleurs que f est derivable au point a , ce taux tend vers f'(a) lorsque h tend vers 0.f'(a) est le nombre dérivé de f en a.

Pour ((h+2)^3 -8)/h , si tu definis la fonction f(x) = (x+2)^3, l'expression est en fait (f(h)-f(0))/h et on sait que f est derivable en 0 avec
f'(x)=3(x+2)² pour tout x de R donc l'expression tend vers f'(0)=12 lorsque h tend vers 0.

A noter que l'expression est AUSSI le taux de variation de
g(x) = x^3 au point 2! Vois-tu pourquoi?
g est derivable en 2 et pour tout x on a g'(x) = 3x² donc on retrouve par cette methode que l'expression tend vers g'(2)=12 pour h tendant vers 0!

En sachant que la derivee de sin est cos sur R, peux-tu trouver par cette methode la limite suivante, apres avoir prouvé qu'elle existe :

lim(x ->

Posté par
Tigweg Correcteurre : Limite 19-06-06 à 13:12

je reprends lol:

lim(x->0) [sin(x+/6) - (1/2)] / x ?

Là tu auras plus de mal à simplifier ou à factoriser, à moins que tu connaisses un peu de trigo.
Par convention la fonction sinus done l'image d'un réel considéré comme la mesure e RADIANS d'un angle, j'espère que tu connais...

Bon je te laisse car je repars, bon courage!

Tigweg

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 13:13

Merci Nicolas .

Tigweg : OK, j'ai compris, merci . Est-ce que tu pourrais me donner un autre exemple qu'une fonction trigonométrique ? Enfin, sinon, ce n'est pas grave, j'essaierai (j'ai bien dit j'essaierai) de me débrouiller.

Estelle

Posté par
_Estelle_re : Limite 19-06-06 à 13:14

Posts croisés.

Bon, je vais essayer de me débrouiller avec la trigo (il ne faut pas reculer devant l'ennemi ^^, même si j'extrapole (un peu)...).

Estelle

Posté par
Tigweg Correcteurre : Limite 19-06-06 à 13:15

"donne* l'image d'un réel ..." -> je veux dire associe à un réel x considéré comme la mesure en radians d'un angle, le nombre sin x égal au sinus de cet angle

1 2 3 4 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !