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Limite d'une fonction

Posté par koudboul (invité) 30-12-06 à 18:22

Bonjour à tous

Je n'arrive pas à montrer que cette limite vaut -1. Difficulté supplémentaire : il s'agit de trouver cette limite sans faire appel au développement limité. Tout au plus est-il possible d'utiliser les équivalents usuels

\lim_{x\to +\infty} (\sqrt[3]{x^3+1}-(x+1))

Posté par
Nightmarere : Limite d'une fonction 30-12-06 à 18:35

Bonsoir

3$\rm \sqrt[3]{x^{3}+1}-(x+1)=\frac{x^{3}+1-(x+1)^{3}}{\sqrt[3]{x^{3}+1}^{2}+\sqrt[3]{x+1}(x+1)+(x+1)^{2}}

Or :
3$\rm x^{3}+1-(x+1)^{3}=x^{2}(-3-\frac{3}{x})
et
3$\rm\sqrt[3]{x^{3}+1}^{2}+\sqrt[3]{x+1}(x+1)+(x+1)^{2}=x^{2}\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{3}}}^{2}+x^{\frac{4}{3}}\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{3}}}\(1+\frac{1}{x}\)+x^{2}\(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\)

Finalement :
3$\rm\sqrt[3]{x^{3}+1}^{2}+\sqrt[3]{x+1}(x+1)+(x+1)^{2}=x^{2}\(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{3}}}^{2}+x^{-\frac{2}{3}}\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{3}}}\(1+\frac{1}{x}\)+\(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\)\)
Et on a donc :
3$\rm \sqrt[3]{x^{3}+1}-(x+1)=\frac{-3-\frac{3}{x}}{\(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{3}}}^{2}+x^{-\frac{2}{3}}\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{3}}}\(1+\frac{1}{x}\)+\(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\)\)}

Conclusion :
3$\rm \lim_{x\to +\infty} \sqrt[3]{x^{3}+1}-(x+1)=-\frac{3}{2}

Pfiou

Posté par
Cauchyre : Limite d'une fonction 30-12-06 à 18:38

T'es rapide en Latex Pfiou

Posté par
geo3re : Limite d'une fonction 30-12-06 à 20:37

Bonsoir
A la 1ère ligne dans le 2ème terme du dénominateur de la réponse  de Nightmare je crois qu'il manque un cube et donc
\sqrt[3]{x^3+1}.(x+1)=x.\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^3}}.x.(1+\frac{1}{x})=x^2.\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^3}}(1+\frac{1}{x})=
ce qui donnerait 1 à la limite après  avoir mis x² en évidence
ce qui donnerait à la limite 3 au dénominateur
pour trouver  finalement -3/3 = -1
A+

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite d'une fonction 31-12-06 à 11:42

Bonjour,

Cette limite est vraiment accessible avec les méthodes de Terminale.

Pfiou ( ) a utilisé la quantité conjuguée (pour les cubiques : a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}) et la factorisation par le terme de plus haut degré.

Autre méthode : reconnaître un taux d'accroissement.

Soit f\; :\; \left\{\begin{array}{ccl}]-1;+\infty[ & \to & \mathbb{R}\\ \\ x & |\to & \sqrt[3]{1+x^3}\end{array}\right.
f est dérivable sur ]-1;+\infty[ et :
f'(x)=\frac{1}{3}\frac{3x^2}{(1+x^3)^{\frac{2}{3}}}

Revenons à notre expression :
\sqrt[3]{1+x^3}-(x+1)=\frac{\sqrt[3]{1+\left(\frac{1}{x}\right)^3}-1}{\frac{1}{x}}-1=\frac{f\left(\frac{1}{x}\right)-f(0)}{\frac{1}{x}-0}-1\to f'(0)-1=\fbox{-1}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
1 Schumi 1re : Limite d'une fonction 31-12-06 à 14:30

Pour reconnaître le taux d'accroissement, faut vraiment avoir de bons yeux. C tordu comme truc.

Posté par
infophilere : Limite d'une fonction 31-12-06 à 14:32

Oui comme tu dis Schumi

Posté par
Nightmarere : Limite d'une fonction 31-12-06 à 14:33

Ca y est, on m'a renommé

Posté par
infophilere : Limite d'une fonction 31-12-06 à 14:37

Et Pfiou pour ton exo >> Injection/Surjection [Démonstration]

Posté par
infophilere : Limite d'une fonction 31-12-06 à 14:39

Et ne m'en redonne pas un tout de suite sinon je ne vais pas réussir à me concentrer sur mon DM

A l'année prochaine !

Posté par koudboul (invité)re : Limite d'une fonction 31-12-06 à 18:08

Merci Nightmare (alias Pfiou) et geo pour la version quantité conjuguée (j'avoue honnêtement que j'avais complètement zappé cette formule) et merci Nicolas pour la version plus subtile du taux d'accroissement

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite d'une fonction 31-12-06 à 19:36

Pour ma part, je t'en prie.


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