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Limite d'une somme avec Sigma

Posté par
TomMaxL 23-04-15 à 10:47

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice de révision en vue de mes partiels, je suis tombé sur un calcul de limite d'une somme avec le sigma ... or je ne sais pas du tout comment me défaire de la situation pour trouver le résultat.
Je compte bien évidemment sur vous pour que vous puissiez m'expliquer pas à pas le raisonnement à avoir pour traiter ce type de question.

Je vous mets ci-dessous, ma limite à calculer

\lim_{\lambda \to + \infty} \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{(-1)^n \lambda^2}{\lambda ^2 + 4\pi^2 n^2}

Je vous remercie énormément d'avance, pour l'aide que vous allez me porter.

TomMaxL

Posté par
gggg1234re : Limite d'une somme avec Sigma 23-04-15 à 11:29

des fois, par calcul explicite de la somme (mais là, non je pense pas)
car tont ruc est proche de la fonction zeta() donc compliqué
des fois par "inversion des sommes et limites"
des fois par integration en ecrivant ton terme général comme le resultat d'une intégrale et en inversant integrale et somme

Posté par
TomMaxLre : Limite d'une somme avec Sigma 23-04-15 à 11:45

À votre avis, laquelle de ces techniques vous semble la plus appropriée et la plus simple en guise de rédaction ?

Posté par
gggg1234re : Limite d'une somme avec Sigma 23-04-15 à 11:56

sans certitude, je dirais (c'est le lambda qui me fait penser à ca), que la meilleure approche serait encore une autre technique: l'utilisation des series de fourier qui permet de cacluler de telles sommes.

Il faudrait l'avis d'autre membres du forum avant de continuer! mais regarde de ce coté...(notamment les deux theoremes dirichelt et perseval)

Posté par
Robotre : Limite d'une somme avec Sigma 23-04-15 à 11:58

Voir ici Analyse de Fourier - Méthode de Calcul
Il vaudrait mieux que tu donnes l'énoncé de ton exercice en entier, plutôt que de le débiter par petits bouts en cachant l'essentiel de l'information !

Posté par
TomMaxLre : Limite d'une somme avec Sigma 23-04-15 à 12:01

exact c'est vrai je ne suis pas encore super au point, et je dois avouer assez désorganisé. Mais oui ça concerne bien les séries de fourier ou j'ai quelques difficultés, comme pour des cas comme ça ...

Merci d'avance pour vos indications.

TomMaxL

Posté par
gui_toure : Limite d'une somme avec Sigma 23-04-15 à 12:01

Salut

Sachant que la fonction 2\pi-périodique définie sur [-\pi,\pi] par f(x)=\mathrm{ch}(\lambda x) (\lambda>0) s'écrit aussi, en vertu du théorème de Dirichlet :

\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{\mathrm{sh}(\lambda\pi)}{\lambda\pi}+\dfrac{2\lambda \mathrm{sh}(\lambda\pi)}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^2+\lambda^2}\cos(nx),

on en déduit, par f(0)=1, que :

\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^2+\lambda^2}=\dfrac{\lambda\pi\mathrm{ch}(\lambda\pi)-\mathrm{sh}(\lambda\pi)}{2\lambda^2\mathrm{sh}(\lambda\pi)}

On peut s'en inspirer pour deviner une autre fonction f qui donne \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{(4\pi n)^2+\lambda^2} (je n'ai pas fait les calculs je ne sais pas si cela aboutit).

Posté par
gui_toure : Limite d'une somme avec Sigma 23-04-15 à 12:03

Ah ... merci Robot, avec un énoncé c'est mieux.

Posté par
Robotre : Limite d'une somme avec Sigma 23-04-15 à 12:11

Et l'histoire commence même ici : Analyse de Fourier - Séries de Fourier

Posté par
Robotre : Limite d'une somme avec Sigma 23-04-15 à 12:12

A noter qu'on est passé d'un DM à un "exercice de révision en vue de mes partiels".
Filouterie ?

Posté par
TomMaxLre : Limite d'une somme avec Sigma 23-04-15 à 12:20

Oula je ne cherches pas à faire de filouterie, ce dm permet également de préparer mon futur partiel concernant les séries de Fourier, produit de convolution et transformé de fourier.
Je viens de m'apercevoir, que j'avais survolé le réglement, est il possible de les supprimés et d'en faire qu'un seul et unique propre nickel parce que la je dois avouer que c'est un peu la pagaille par ma faute.

Veuillez m'excuser pour ce non respect du règlement ...

Posté par
gggg1234re : Limite d'une somme avec Sigma 23-04-15 à 13:31

Ya pas de souci TomMaxL, on a connu pire ici !

Mais c'est plus simple, même pour toi de ne faire qu'un "topic" par question, plutôt que s'éparpiller...

Merci Robot pour les liens, c'est vrai que je répondait direct sur ce topic, je devinais du Fourier, mais j'étais un peu dans le flou..

G.


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