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limite d une suite

Posté par
aya4545
21-01-22 à 15:52

bonjour
voilà dans cet exercice une inegalité qui m embete
f_(x)=arctanx-\frac{\pi}{4}\quad  ;x \in \R^+

1) montrez que l 'equation f(x)=1-x admet une solution unique x_0=1 dans [0;+\infty[
2)pour n \in \N^* g_n(x)=f(x)+(1-\frac{1}{n+1})x-1 \quad x\geq 1
montrez que l 'equation g_n(x)=0admet une solution unique a_n  \in [1;+\infty [
3)montrer que \forall x \geq 1  \quad g_{n+1}(x)>g_n(x)
4) montrez que (a_n) est strictement decroissante
5)en deduire que (a_n) est convergente et sa limite L verfie f(L)=1-Lpuis en deduire sa valeur
6) en appliquant TAF a la fonction fmontrez que :
\forall n \in \N^* \quad (\frac{n}{n+1})\frac{2a_n}{3}\leq n(a_n-1)\leq(\frac{n}{n+1})(\frac{a_n(1+a_n^2)}{2+a_n^2})en deduire la limite  (n(a_n-1))
c est uniquement  la derniere double inegalité qui me peine tout le reste de l exercice je l ai fait

Posté par
lake
re : limite d une suite 21-01-22 à 17:01

Bonsoir,

En suivant ton énoncé, et en appliquant le TAF à f sur [1,a_n], on obtient :

   f(a_n)-f(1)\leq \dfrac{1}{2}(a_n-1) (avec f(1)=0)

Il reste à réinjecter ceci dans g_n(a_n) (qui est nul).
Je pense que tu obtiendras une partie de ton inégalité.

Il faudra réfléchir pour l'autre partie

Posté par
larrech
re : limite d une suite 21-01-22 à 17:49

De l'autre partie, en pourrait considérer le minimum de f' sur [1, a_n] , qui sait ?

Posté par
lake
re : limite d une suite 21-01-22 à 18:07

Bonsoir larrech,

Pour l'instant (et la deuxième partie) je pédale un peu dans le yaourt
Qui sait ? Pour l'instant encore, pas moi

Posté par
larrech
re : limite d une suite 21-01-22 à 18:22

Toujours d'après le TAF

\dfrac{1}{1+a^2_n}\leq \dfrac{f(a_n)-f(1)}{a_n-1}, d'où

\dfrac{a_n-1}{1+a^2_n}\leq 1-(1-\dfrac{1}{n+1})a_n   dont on tire

(a_n-1)\dfrac{2+a^2_n}{1+a^2_n}\leq \dfrac {a_n}{n+1}

d'où la deuxième inégalité

Posté par
lake
re : limite d une suite 21-01-22 à 18:39

Je suis un peu fatigué mais j'ai du mal à comprendre le passage à la dernière ligne ?

Posté par
larrech
re : limite d une suite 21-01-22 à 18:52

Me serais-je planté ?

\dfrac{a_n-1}{1+a^2_n}\leq 1-(1-\dfrac{1}{n+1})a_n

\dfrac{a_n-1}{1+a^2_n}\leq 1-a_n+\dfrac{a_n}{n+1}

\dfrac{a_n-1}{1+a^2_n}+a_n-1\leq \dfrac{a_n}{n+1}

(a_n-1)\dfrac{2+a^2_n}{1+a^2_n}\leq \dfrac {a_n}{n+1} d'où

n(a_n-1)\leq \dfrac {n a_n (1+a^2_n)}{(n+1)(2+a^2_n)}

S'il y a une erreur, ce qui est possible,  je ne la vois pas.

Posté par
lake
re : limite d une suite 21-01-22 à 19:00

J'étais décidément très fatigué !  

Posté par
aya4545
re : limite d une suite 21-01-22 à 19:29

merci infinement
j ai beau cherché mais en vain  je n ai rien trouvé bravo

Posté par
larrech
re : limite d une suite 21-01-22 à 19:40

@aya4545 Il faut quand même indiquer pourquoi le TAF permet ici d'écrire les 2 inégalités de départ, celle de 17h01 et celle de 18h22. mais je suppose que cela ne présente aucune dfficulté pour toi.

Posté par
aya4545
re : limite d une suite 21-01-22 à 22:57

salut
f(x)=arctanx-\frac{\pi}{4} f continue sur [1 a_n] derivable sur ]1 a_n[
d apres TAF  \exists c  \in ]1 a_n[ tel que f(a_n)-f(1)=f'(c)(a_n-1)
f''(x)=\frac{-2x}{1+x^2}\leq 0 \quad \forall x \in [1 a_n] et
  1<c<a_ndonc  f'(a_n)<f'(c)<f'(1)
    
    g_n(a_n)=f(a_n)+(1-\frac{1}{n+1})a_n-1=0 donc f(a_n)=-(1-\frac{1}{n+1})a_n+1
   f(1)=0
\frac{a_n-1}{1+a_n^2}<f'(c)(a_n-1)<\frac{a_n-1}{2}
   \frac{a_n-1}{1+a_n^2}<f(a_n)<\frac{a_n-1}{2}.....

Posté par
aya4545
re : limite d une suite 21-01-22 à 22:58

et merci larrech

Posté par
larrech
re : limite d une suite 21-01-22 à 23:04

Très bien.



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