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limite et suite

Posté par
ferenc 18-12-11 à 16:02

Bonjour, je dois calculer \lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x
J'ai fais une preuve différente que celle du corrigé (ils ont fait avec le développement de taylor), et je voulais avoir votre approbation:

\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=\lim_{x\to\infty}e^{x\ln(1+\frac{1}{x})}
Posons u(x)=1+\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=\frac{1}{u(x)-1} donc:
\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=\lim_{u(x)\to 1}e^\frac{ln(u(x))}{u(x)-1}=\lim_{u(x)\to 1}e^\frac{\ln(u(x))-\ln(1)}{u(x)-1}=e^{\lim_{u(x)\to 1}\frac{\ln(u(x))-\ln(1)}{u(x)-1}}=e^\ln'(1)
Or \ln'(1)=\frac{1}{1}=1 on en conclu que
\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e

Q1) cela vous semble t-il correct ?
Q2) En fait, ai-je vraiment le droite de faire \lim_{x\to a}e^{f(x)}=e^{\lim_{x\to a}f(x)} et pourquoi ?
merci de vos réponses

Posté par
Glapion Moderateurre : limite et suite 18-12-11 à 16:13

Bonjour, oui pour moi c'est correct.
et pour Q2 , oui si on a affaire à une fonction composée u(v(x)) et si v(x) tend vers a alors u°v(x) tend vers u(a). On a tout à fiat le droit de dire ça.

Posté par
ferencre : limite et suite 18-12-11 à 16:42

ok merci !

Posté par
carpediemre : limite et suite 18-12-11 à 16:51

salut

oui ça revient au même puisque calculer (ou reconnaitre) la limite d'un taux de variation (donc une dérivée) c'est faire un dl à l'ordre 1

mais le changement de variable est astucieux ....

pose simplement u = 1 + 1/x (inutile de mettre la variable...)

quant à la rédaction pourquoi t'embêtes-tu avec ce lim ....


écris seulement :: 1 + 1/x)x = ... = exp[(ln u - ln 1)/(u - 1)


puis maintenant tu prends la limite

Posté par
ferencre : limite et suite 18-12-11 à 16:52

ok merci, je saurais en prendre bonne note

Posté par
carpediemre : limite et suite 18-12-11 à 17:06

une écriture sobre permet la clarté de la pensée ....

savoir décomposer en étape ....


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