Bonjour j'ai deux questions d'exercices qui m'embêtent. Merci beaucoup de votre aide.
1) Soit , une fonction T-périodique (où T > 0). On a montré dans la première question que
si quand tend vers + alors est constante.
La question est: Soient , telle que quand tend vers +, périodique, et est croissante.Montrer que g est constante
Indice:Justifier que g possède une limite finie en +? puis se ramener à la question précédente.
Il me manque juste donc à montrer que g admet admet une limite finie en l'infini. J'ai essayé de bidouiller des valeurs absolues de f+g+l-l.... mais rien d'intéressant
* Modération > Énoncé et commentaire du second exercice effacé. il a été dupliqué dans un autre sujet *
Merci à vous!!
Pour la question 1, il te faut utiliser la question 1.
Tu sais que ta fonction est périodique. Si tu arrives à montrer qu'elle possède une limite finie en , alors d'après ce que tu as dit en préambule, tu pourras conclure qu'elle est constante. C'est d'ailleurs ce qui est donné dans ton indication...
Comment montrer que possède une telle limite ? Posons .
a. Es-tu d'accord que si possède une limite finie en , alors c'est aussi le cas pour ? (Pourquoi ?)
b. On cherche donc à montrer que possède une limite finie en . Tu sais qu'elle est croissante, par hypothèse. Tu peux essayer de montrer qu'il existe un intervalle de la forme sur lequel est majoré. Tu pourras alors utiliser le théorème de la limite monotone !
Pour ce faire, on pourra exploiter, en utilisant des quantificateurs (réécrire la définition correspondante...), le fait que .
Remarque : Normalement, c'est assez intuitif, et clair avec un dessin que est bornée "à partir d'un certain réel". De plus, est périodique, donc bornée sur . Donc on doit bien avoir que est bornée "à partir d'un certain réel"...
2. * Modération > commentaire reproduit dans l'autre sujet. *
Bonsoir
J'ai un doute : la périodicité n'implique pas d'être bornée (il faut pour cela qu'elle soit aussi continue)
Bonjour et meilleurs vœux pour l'année 2024.
Ce qui est en rapport avec 2) est ici : Limites de fonction bis
Bonjour
Merci beaucoup pour toutes ces indications!!
Mais si est la fonction , elle est périodique croissante mais pas majorée
Malheureusement je n'ai aucune information sur la continuité des fonctions dans mon énoncé.
Puisque j'arrive à montrer que est croissante, il ne manque plus qu'à montrer qu'elle est majorée mais je n'y arrive pas!
Merci encore
Peut-être tenter ceci :
Si la limite de f en + est un réel L et g périodique non constante
alors f+g non monotone.
Une remarque : la fonction tan n'est pas définie sur .
On peut lui rajouter des valeurs arbitraires là où elle n'est pas définie ; mais le résultat ne sera jamais monotone sur .
Une fonction définie sur , périodique et non constante n'est pas monotone.
Bonjour, merci pour ces indications
Je ne saisis pas pourquoi le fait diverge vers + en l'infini contredit sa périodicité?
Merci
Soit g de période T et a = g(0) .
On a alors g(kT) = a pour tout k entier.
Si la fonction g a pour limite + en + alors il existe un réel x0 tel que
x x0 g(x) > a+1 g(x) g(0) .
Super merci beaucoup à vous !!
J'aimerais juste avoir quelques dernières aides s'il vous plaît,
Au départ je pensais savoir démontrer la croissance de g ansi:
Soit , et on prend .
Alors par T-périodicité de g on a: , mais aussi ( car )
Mais je me rends compte que c'est faux ( avec cos par exemple), n'est-ce pas ?
Merci beaucoup
Bonjour,
Je ne comprends pas ceci :
Bonjour, oui c'est que j'ai fait, mais ma démonstration me semble fausse car une fonction périodique peut être changer de monotonie entre deux réels. Donc je ne sais pas comment procéder. Peut-être faut-il à nouveau utiliser le fait f+g est croissante ?
Merci beaucoup
salut
je trouve bien compliqué ou du moins peu clair ce qui est fait ...
utilisons une à une les hypothèses :
1/ f + g est croissante donc pour tout réel a et b avec a < b alors
2/ g est T-périodique donc pour tout entier naturel k :
3/ donc en faisant tendre k vers +oo on en déduit que
en prenant a = 0 on en déduit que pour tout réel positif b :
en prenant b = 0 en en déduit que pour tout réel négatif a :
or g est périodique donc ...
on se moque même de sa limite en +oo qui ne sert à rien ...
le pb est que ma démonstration n'utilise pas la question 1/
une autre démonstration qui utilise la question 1/ est donnée par MattZolotarev :
a/ montrer que h = f + g est bornée (majorée suffit) à partir d'un certain rang
b/ montrer que h admet alors une limite finie en +oo
c/ en déduire que g admet une limite finie en +oo
d/ conclure avec la question 1/
MattZolotarev : non pas ce que tu proposais mais plutôt les réponses de osforon qui n'avançait pas beaucoup avec ce que tu proposes ...
cependant il n'est pas besoin d'un raisonnement par l'absurde dans ma rédaction de 17h42 (en commençant par ta remarque de ta proposition de 01h41) et utilise bien le théorème de la convergence monotone et la question 1/
cependant j'aime bien (je préfère) être minimaliste : déduire le plus avec le moins d'outils d'où ma première proposition qui n'utilise pas le TCM
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