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Niveau Maths sup
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Limites de fonction

Posté par Profil osforon 02-01-24 à 00:24

Bonjour j'ai deux questions d'exercices qui m'embêtent. Merci beaucoup de votre aide.

1) Soit f :, une fonction T-périodique (où T > 0). On a montré dans la première question que
si f(x)\rightarrow l     quand x tend vers + alors f est constante.
La question est: Soient f,g:, telle que f(x)\rightarrow l     quand x tend vers +, g périodique, et f+g est croissante.Montrer que g est constante
Indice:Justifier que g possède une limite finie en +? puis se ramener à la question précédente.


Il me manque juste donc à montrer que g admet admet une limite finie en l'infini. J'ai essayé de bidouiller des valeurs absolues de f+g+l-l.... mais rien d'intéressant


* Modération > Énoncé et commentaire du second exercice effacé. il a été dupliqué dans un autre sujet *


Merci à vous!!

Posté par
MattZolotarev
re : Limites de fonction 02-01-24 à 01:41

Pour la question 1, il te faut utiliser la question 1.
Tu sais que ta fonction g est périodique. Si tu arrives à montrer qu'elle possède une limite finie en +\infini, alors d'après ce que tu as dit en préambule, tu pourras conclure qu'elle est constante. C'est d'ailleurs ce qui est donné dans ton indication...

Comment montrer que g possède une telle limite ? Posons h=f+g.

a. Es-tu d'accord que si h possède une limite finie en +\infty, alors c'est aussi le cas pour g ? (Pourquoi ?)

b. On cherche donc à montrer que h possède une limite finie en +\infty. Tu sais qu'elle est croissante, par hypothèse. Tu peux essayer de montrer qu'il existe un intervalle de la forme [a,+\infty [ sur lequel h(x) est majoré. Tu pourras alors utiliser le théorème de la limite monotone !

Pour ce faire, on pourra exploiter, en utilisant des quantificateurs (réécrire la définition correspondante...), le fait que f(x)\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow} l.

Remarque : Normalement, c'est assez intuitif, et clair avec un dessin que f est bornée "à partir d'un certain réel". De plus, g est périodique, donc bornée sur \mathbb{R}. Donc on doit bien avoir que h est bornée "à partir d'un certain réel"...

2. * Modération > commentaire reproduit dans l'autre sujet. *

Posté par
Zormuche
re : Limites de fonction 02-01-24 à 02:11

Bonsoir
J'ai un doute : la périodicité n'implique pas d'être bornée (il faut pour cela qu'elle soit aussi continue)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites de fonction 02-01-24 à 09:03

Bonjour et meilleurs vœux pour l'année 2024.
Ce qui est en rapport avec 2) est ici : Limites de fonction bis

Posté par Profil osforonre : Limites de fonction 02-01-24 à 10:15

Bonjour
Merci beaucoup pour toutes ces indications!!

Mais si g est la fonction tan, elle est périodique croissante mais pas majorée
Malheureusement je n'ai aucune information sur la continuité des fonctions dans mon énoncé.
Puisque j'arrive à montrer que g est croissante, il ne manque plus qu'à montrer qu'elle est majorée mais je n'y arrive pas!

Merci encore

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites de fonction 02-01-24 à 12:02

Peut-être tenter ceci :
Si la limite de f en + est un réel L et g périodique non constante
alors f+g non monotone.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites de fonction 02-01-24 à 12:10

Une remarque : la fonction tan n'est pas définie sur .
On peut lui rajouter des valeurs arbitraires là où elle n'est pas définie ; mais le résultat ne sera jamais monotone sur .

Une fonction définie sur , périodique et non constante n'est pas monotone.

Posté par
MattZolotarev
re : Limites de fonction 02-01-24 à 16:33

osforon @ 02-01-2024 à 10:15

Bonjour
Merci beaucoup pour toutes ces indications!!

Mais si g est la fonction tan, elle est périodique croissante mais pas majorée
Malheureusement je n'ai aucune information sur la continuité des fonctions dans mon énoncé.
Puisque j'arrive à montrer que g est croissante, il ne manque plus qu'à montrer qu'elle est majorée mais je n'y arrive pas!

Merci encore


Bonjour, oui tu as raison, en général la périodicité n'implique pas le caractère borné. J'ai lu un peu vite, désolé. La bonne nouvelle c'est que ça rend l'exercice un peu plus fun !

Petite proposition :
Ta fonction h est croissante sur \mathbb{R}. Donc deux cas de figure : ou bien elle est non majorée et diverge vers +\infty lorsque x\longrightarrow +\infty , ou bien elle est majorée et converge.

On doit pouvoir montrer sans trop de difficulté que le premier cas n'est pas possible (si c'était le cas, montrer que l'on aurait g(x)\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow} +\infty et que ceci contredirait le fait que g est périodique).

Alors (tiers exclu) h possède une limite finie au voisinage de +\infty , donc g aussi, et tu peux conclure.

Posté par Profil osforonre : Limites de fonction 02-01-24 à 17:20

Bonjour, merci pour ces indications

Je ne saisis pas pourquoi le fait g diverge vers + en l'infini contredit sa périodicité?
Merci

Posté par
MattZolotarev
re : Limites de fonction 02-01-24 à 17:30

Réécris à l'aide de quantificateurs "g(x)\underset{x\to +\infty}{\longrightarrow}+\infty"

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites de fonction 02-01-24 à 17:31

Soit g de période \; T \; et \; a = g(0) .
On a alors \; g(kT) = a \; pour tout \; k \; entier.

Si la fonction \; g \; a pour limite + en + alors il existe un réel \; x0 \; tel que
x x0 \; \; g(x) > a+1 g(x) g(0) .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites de fonction 02-01-24 à 17:32

Désolée MattZolotarev, j'ai un peu fait le boulot...

Posté par
MattZolotarev
re : Limites de fonction 02-01-24 à 18:31

Sylvieg @ 02-01-2024 à 17:32

Désolée MattZolotarev, j'ai un peu fait le boulot...

Oups ! Pas de souci ! Si l'auteur a compris

Posté par Profil osforonre : Limites de fonction 03-01-24 à 22:49

Super merci beaucoup à vous !!

J'aimerais juste avoir quelques dernières aides s'il vous plaît,


Au départ je pensais savoir démontrer la croissance de g ansi:
Soit x, et on prend y = x + T>x.
Alors par T-périodicité de g on a: g(x)\leq g(y), mais aussi g(x)\geq g(y)( car g(x)= g(y) )
Mais je me rends compte que c'est faux ( avec cos par exemple), n'est-ce pas ?

Merci beaucoup

Posté par Profil osforonre : Limites de fonction 04-01-24 à 19:31

S'il vous plaît

Posté par Profil osforonre : Limites de fonction 05-01-24 à 22:24

Personne ne peut m'aider ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites de fonction 06-01-24 à 10:44

Bonjour,
Je ne comprends pas ceci :

Citation :
Au départ je pensais savoir démontrer la croissance de g ansi:
Soit x, et on prend y = x + T>x.
Alors par T-périodicité de g on a: g(x)\leq g(y), mais aussi g(x)\geq g(y)( car g(x)= g(y) )
Mais je me rends compte que c'est faux ( avec cos par exemple), n'est-ce pas ?
Pour démontrer g croissante, il faudrait
Pour tout x et y réels tels que x < y on a f(x) f(y).

Posté par Profil osforonre : Limites de fonction 06-01-24 à 11:29

Bonjour, oui c'est que j'ai fait, mais ma démonstration me semble fausse car une fonction périodique peut être changer de monotonie entre deux réels. Donc je ne sais pas comment procéder. Peut-être faut-il à nouveau utiliser le fait f+g est croissante ?

Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Limites de fonction 06-01-24 à 11:48

salut

je trouve bien compliqué ou du moins peu clair ce qui est fait ...

utilisons une à une les hypothèses :

1/ f + g est croissante donc pour tout réel a et b avec a < b alors (f + g)(a) \le (f + g)(b) \iff f(a) + g(a) \le f(b) + g(b)  (1)

2/ g est T-périodique donc pour tout entier naturel k  :   (1) \Longrightarrow f(a + kT) + g(a) \le f(b + kT) + g(b)

3/ \lim_{x \to + \infty} f(x) = \ell donc en faisant tendre k vers +oo on en déduit que g(a) \le g(b)

en prenant a = 0 on en déduit que pour tout réel positif b : g(0) \le g(b)
en prenant b = 0 en en déduit que pour tout réel négatif a : g(a) \le g(0)

or g est périodique donc ...

Posté par Profil osforonre : Limites de fonction 06-01-24 à 17:02

Donc g est constante, égale à g(0), elle a donc une limite fini en +!
Merci beaucoup !!

Posté par
carpediem
re : Limites de fonction 06-01-24 à 17:42

on se moque même de sa limite en +oo qui ne sert à rien ...

le pb est que ma démonstration n'utilise pas la question 1/

une autre démonstration qui utilise la question 1/ est donnée par MattZolotarev :

a/ montrer que h = f + g est bornée (majorée suffit) à partir d'un certain rang
b/ montrer que h admet alors une limite finie en +oo
c/ en déduire que g admet une limite finie en +oo
d/ conclure avec la question 1/

Posté par
MattZolotarev
re : Limites de fonction 06-01-24 à 17:50

carpediem @ 06-01-2024 à 11:48

salut

je trouve bien compliqué ou du moins peu clair ce qui est fait ...

utilisons une à une les hypothèses :

1/ f + g est croissante donc pour tout réel a et b avec a < b alors (f + g)(a) \le (f + g)(b) \iff f(a) + g(a) \le f(b) + g(b)  (1)

2/ g est T-périodique donc pour tout entier naturel k  :   (1) \Longrightarrow f(a + kT) + g(a) \le f(b + kT) + g(b)

3/ \lim_{x \to + \infty} f(x) = \ell donc en faisant tendre k vers +oo on en déduit que g(a) \le g(b)

en prenant a = 0 on en déduit que pour tout réel positif b : g(0) \le g(b)
en prenant b = 0 en en déduit que pour tout réel négatif a : g(a) \le g(0)

or g est périodique donc ...


Haha, les goûts et les couleurs !

Qu'est-ce qu'il y a de peu clair ?
h:=f+g est croissante donc de deux choses l'une ;
- elle est majorée donc il existe l'\in\mathbb{R} tel que h(x)\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow} l',
- elle n'est pas majorée donc h(x)\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow} +\infty.

Dans ce second cas et en revenant à la définition, la convergence de f au voisinage de +\infty implique que g(x)\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow} +\infty.

Ceci contredit le fait que g est périodique, parce que l'on aurait par exemple g(nT)\underset{n\to\+\infty}{\longrightarrow}+\infty alors que g(nT)=g(0) pour tout entier naturel n.

Donc : h est majorée et admet une limite finie au voisinage de +\infty, et il en est donc de même (reprendre les définitions si besoin) pour g.

Donc, en utilisant le premier résultat, g est constante.

Je trouve cette rédaction intéressante au contraire, car elle reprend les définitions du cours et permet de les retravailler, on utilise un raisonnement par l'absurde, on utilise un résultat important du cours (la limite monotone) et on s'appuie sur l'indication donnée.  Que demande le peuple ?

Posté par
carpediem
re : Limites de fonction 06-01-24 à 18:27

MattZolotarev : non pas ce que tu proposais mais plutôt les réponses de osforon qui n'avançait pas beaucoup avec ce que tu proposes ...

cependant il n'est pas besoin d'un raisonnement par l'absurde dans ma rédaction de 17h42 (en commençant par ta remarque de ta proposition de 01h41) et utilise bien le théorème de la convergence monotone et la question 1/

cependant j'aime bien (je préfère) être minimaliste : déduire le plus avec le moins d'outils d'où ma première proposition qui n'utilise pas le TCM

Posté par Profil osforonre : Limites de fonction 06-01-24 à 21:08

MattZolotarev @ 06-01-2024 à 17:50

carpediem @ 06-01-2024 à 11:48

salut

je trouve bien compliqué ou du moins peu clair ce qui est fait ...

utilisons une à une les hypothèses :

1/ f + g est croissante donc pour tout réel a et b avec a < b alors (f + g)(a) \le (f + g)(b) \iff f(a) + g(a) \le f(b) + g(b)  (1)

2/ g est T-périodique donc pour tout entier naturel k  :   (1) \Longrightarrow f(a + kT) + g(a) \le f(b + kT) + g(b)

3/ \lim_{x \to + \infty} f(x) = \ell donc en faisant tendre k vers +oo on en déduit que g(a) \le g(b)

en prenant a = 0 on en déduit que pour tout réel positif b : g(0) \le g(b)
en prenant b = 0 en en déduit que pour tout réel négatif a : g(a) \le g(0)

or g est périodique donc ...


Haha, les goûts et les couleurs !

Qu'est-ce qu'il y a de peu clair ?
h:=f+g est croissante donc de deux choses l'une ;
- elle est majorée donc il existe l'\in\mathbb{R} tel que h(x)\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow} l',
- elle n'est pas majorée donc h(x)\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow} +\infty.

Dans ce second cas et en revenant à la définition, la convergence de f au voisinage de +\infty implique que g(x)\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow} +\infty.

Ceci contredit le fait que g est périodique, parce que l'on aurait par exemple g(nT)\underset{n\to\+\infty}{\longrightarrow}+\infty alors que g(nT)=g(0) pour tout entier naturel n.

Donc : h est majorée et admet une limite finie au voisinage de +\infty, et il en est donc de même (reprendre les définitions si besoin) pour g.

Donc, en utilisant le premier résultat, g est constante.

Je trouve cette rédaction intéressante au contraire, car elle reprend les définitions du cours et permet de les retravailler, on utilise un raisonnement par l'absurde, on utilise un résultat important du cours (la limite monotone) et on s'appuie sur l'indication donnée.  Que demande le peuple ?



Merci à vous !!

Posté par
carpediem
re : Limites de fonction 07-01-24 à 08:58

de  rien

Posté par
malou Webmaster
re : Limites de fonction 14-01-24 à 12:28

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