Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x)

Posté par
Hasnaaaaa 07-10-17 à 21:03

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour la linéarisation de
cos^4 (x).sin^3 (x) .
J'ai linéarisé cos^4 (x) et sin^3 (x) séparemment. Cela m'a donné cos^4 (x) = \frac{1}{8} (cos(4x)+4.cos(2x) + 3 ) et
sin^3 (x)= \frac{1}{4}(3.sin(x) - sin (3x)) puis j'ai utilisé la formule cos(a).sin(b)=\frac{1}{2}(sin(a+b)-sin(a-b)) mais je ne trouve pas le bon résultat. Je devrais trouver cos^4(x).sin^3(x)=\frac{-1}{64}(sin(7x)+sin(5x)-3sin(3x)-3sin(x)). Mais je ne trouve pas ça. Je vous détaille mon calcul:

cos^4(x).sin^3(x)

=(\frac{1}{8}cos(4x)+\frac{4}{8}cos(2x)+\frac{3}{8})(\frac{3}{4}sin(x)-\frac{1}{4}sin(3x))

=(\frac{1}{8}.\frac{3}{4}.cos(4x).sin(x))+(\frac{-1}{8}.\frac{1}{4}.cos(4x).sin(3x))+(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}cos(2x).sin(x))-(\frac{1}{4}.\frac{1}{2}.cos(2x).sin(3x))
+(\frac{3}{8}.\frac{3}{4}.sin(x))-(\frac{3}{8}.\frac{1}{4}.sin(3x))

=\frac{1}{32}.((3.cos(4x).sin(x))-(cos(4x).sin(3x))+(12.cos(2x).sin(x))-4(cos(2x).sin(3x))+9sin(x)-3sin(3x))

=\frac{1}{64}(3sin(5x)-3sin(3x)-sin(7x)+sin(x)+12sin(3x)
-12sin(x)-4sin(5x)-4sin(x)+9sin(x)-3sin(3x))

=\frac{1}{64}(-sin(5x)-sin(7x)+6sin(3x)-6sin(x))

Comme vous pouvez le voir, la première partie correspond à ce que je dois avoir mais la fin ne va pas et je ne sais pas ce qui est faux dans mes calculs. Je vous remercie d'avance, en espérant que vous pourrez m'aider.

Posté par
philgr22re : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 21:20

Bonsoir,
Pourquoi n'utilises tu pas la forme exponentielle des le depart?

Posté par
philgr22re : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 21:36

N'oublie pas que :
(ei-e-i)(ei+e-i)=.....

Posté par
Hasnaaaaare : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 22:09

Bonsoir,
Oui c'est ce que j'ai utilisé cos(x)= (\frac{e^i^\theta + e^-^i^\theta}{2} )
sin(x)=((\frac{e^i^\theta - e^-^i^\theta}{2i} )

J'ai essayé de tout mettre sous forme exponentielle, le calcul est très long et j'ai trouvé pareil que sous cette forme là..

Posté par
Priamre : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 22:09

Voici une autre méthode qui conduit à des calculs moins douloureux :

cos4x sin3x = cosx cos3x sin3x = cosx (cosx sinx)3

Les deux derniers facteurs sont linéarisables à l'aide des formules  sin(2a)  et  sin3a .
Puis le cosx est incorporé et l'ensemble est linéarisé à l'aide de la formule  sina cosb .

Posté par
Hasnaaaaare : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 22:10

*Merci pour votre réponse

Posté par
Hasnaaaaare : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 22:12

C'est vrai que je n'ai pas pensé à diviser la puissance.. Merci. Je vais essayer.
J'aimerai savoir malgré tout  ce qui ne va pas dans mon calcul.. Parce que je risque de me tromper à nouveau à l'avenir.

Posté par
lafol Moderateurre : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 22:22

Bonjour

c'est là

Citation :
cos^4(x).sin^3(x) \\ \\ =(\frac{1}{8}cos(4x)+\frac{4}{8}cos(2x)+\frac{3}{8})(\frac{3}{4}sin(x)-\frac{1}{4}sin(3x)) \\ \\ =(\frac{1}{8}.\frac{3}{4}.cos(4x).sin(x))+(\frac{-1}{8}.\frac{1}{4}.cos(4x).sin(3x))+(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}cos(2x).sin(x))-(\frac{1}{4}.\frac{1}{2}.cos(2x).sin(3x)) \\ +(\frac{3}{8}.\frac{3}{4}.sin(x))-(\frac{3}{8}.\frac{1}{4}.sin(3x)) \\ \\ =\frac{1}{32}.((3.cos(4x).sin(x))-(cos(4x).sin(3x))+(12.cos(2x).sin(x))-4(cos(2x).sin(3x))+9sin(x)-3sin(3x)) \\ \\ =\frac{1}{64}(3sin(5x)-3sin(3x)-sin(7x)+sin(x)+12sin(3x) \\ -12sin(x)-4sin(5x){\red {\huge -}}4sin(x)+9sin(x)-3sin(3x)) \\ \\ =\frac{1}{64}(-sin(5x)-sin(7x)+6sin(3x)-6sin(x)) \\

Posté par
philgr22re : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 22:31

personnellement, je ne trouve pas ça si long avec la forme exponentielle ,gràce à l'identité remarquable...

Posté par
philgr22re : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 22:34

(e2i-e-2i)3(ei+e-i)

Posté par
Hasnaaaaare : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 22:42

lafol
J'ai mis -4sin(5x) parce que -4(cos(2x).sin(3x))=\frac{1}{2}(sin(5x)-sin(-x)) et comme sin(-x)=-sin(x) on a -4(cos(2x).sin(3x))=\frac{-4}{2}(sin(5x)+sin(x)) j'ai mis le 2 en facteur, au tout début pour avoir -4sin(5x)-4sin(x) Ce n'est pas juste ?
Si le résonnement est faux, il y a d'autres erreurs car en changeant le signe je trouve \frac{1}{64}(...+2sin(x)+6sin(3x)), et je devrais trouver \frac{1}{64}(...+3sin(x)+3sin(x))

Posté par
Hasnaaaaare : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 22:47

philgr22
J'ai utilisé les formes exponentielles pour linéariser cos^4x et sin^3x avec les facteurs (1-3-3-1) pour la puissance de 3 et (1-4-6-4-1) pour celle de 4.
Où est ce que je devrais utiliser l'identité remarquable selon vous ?

Posté par
philgr22re : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 22:57

regarde ce que j'ai ecrit...

philgr22 @ 07-10-2017 à 22:34

(e2i-e-2i)3(ei+e-i)

Posté par
philgr22re : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 23:03

le calcul est ce la forme:
(a+b)4(a-b)3=(a2-b2)3(a-b)

Posté par
philgr22re : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 23:04

(a+b) pardon..

Posté par
Hasnaaaaare : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 23:05

Priam merci
En faisant cos(x).cos^3(x).sin^3(x) j'ai trouvé le bon résultat. Mais je ne comprends toujours pas mon erreur dans le calcul initial :/

Posté par
Hasnaaaaare : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 23:17

philgr22
Je calcule comme une patate
Je ne connaissais pas cette simplification. Pour moi c'était  de la forme (a+b)^4.(c-d)^3 parce que c et d font intervenir i alors que a et b non..
J'ai cru entendre parlé du fait qu'on pouvait exprimer un cos par un sin et inversement, mais je ne sais pas faire (du moins je n'ose pas, je limite les dégâts).

Posté par
philgr22re : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 23:20

De toute façon tu isole le 1/2 et le 1/2i en tenant compte de la puissance et ensuite tu ne t'en préoccupes plus et tu as 4 etapes de calcul si je ne me trompe...

Posté par
Hasnaaaaare : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 07-10-17 à 23:44

philgr22
Comment avez vous déduit la formule (a+b)4(a-b)3=(a2-b2)3(a-b) ?

Posté par
Razesre : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 08-10-17 à 00:38

\cos^4 x\sin^3 x=\left (\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})\right )^4\left (\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\right )^{3}=\left ( \frac{1}{2} \right )^7{\left ( \frac{1}{i} \right )}^{3}\left (e^{ix}+e^{-ix}\right )^4\left (e^{ix}-e^{-ix}\right )^{3}\\\\=2^{-7}i\left (e^{ix}+e^{-ix}\right )\left (\left (e^{ix}+e^{-ix}\right )\left (e^{ix}-e^{-ix}\right )\right )^{3}=2^{-7}i\left (e^{ix}+e^{-ix}\right )\left (e^{i2x}-e^{-i2x} \right )^{3}

Posté par
Hasnaaaaare : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 08-10-17 à 13:33

Merci beaucoup, j'ai réussi à trouver le bon résultat

Posté par
lafol Moderateurre : Linéarisation de cos^4(x).sin^3(x) 08-10-17 à 15:22

Hasnaaaaa @ 07-10-2017 à 23:44

philgr22
Comment avez vous déduit la formule (a+b)4(a-b)3=(a2-b2)3(a+b) ?

M'enfin
(a+b)^3(a-b)^3=((a+b)(a-b))^3 puis différence de deux carrés...


Rechercher
Menu
Espace membre
9 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1729 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !