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Logarithme complexe
Posté par DocMogrog
Bonjour,
Je suis en train d'étudier l'exponentielle complexe. Dans mon cours il est indiqué que (ce n'est pas une version fidèle du cours mais une réécriture de ma part):
admet pour solutions :
Donc il existe une infinité de solution. Il faut alors définir une restriction sur l'ensemble de départ pour pouvoir définir une application réciproque.
Dans mon cours, cet ensemble est : {z\ } (avec α∈ℝ)
C'est là que ça coince. Je ne vois pas en quoi le fait de restreindre seulement la partie imaginaire change quelquechose. Pour moi, il faut que ça soit l'ensemble suivan:
{z\ }
Merci d'avance pour vos réponse!
Bonjour DocMogrog.
L'ensemble que tu proposes et tout simplement le plan complexe sauf une demi-droite : ce qui ne peut pas convenir.
En revanche, si tu as que , alors étant donné un complexe
, un logarithme de
est donc
, amis aussi tout les
.
Or le logarithme réel est une bijection de sur
donc aucune restriction n'est à apporter sur la partie réelle.
En revanche, la partie imaginaire ne peut pas dépasser une amplitude de . Donc, pour trouver une application réciproque à l'exponentielle complexe, et qui soit holomorphe, on doit se restreindre, par exemple à
Salut,
z=ln|w| + i(arg(w)+2k
)
Tu veux obtenir une bijection, la partie réel de z ne pose pas de problème, car w
0, en revanche la partie imaginaire est périodique de période 2, c'est donc la partie imaginaire que tu dois restreindre si tu veux avoir un z unique. La partie réel ne pose aucun problème.
Je vous remercie de vos réponse, elles sont très éclairantes.
Je trouve ça vraiment évident maintenant!
Il y a pas mal de concepts qui se croisent dans ce chapitre et parfois je perds un peu le fil mais l'essentiel est de comprends au bout du compte. Bonne journée à vous 