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Niveau maths spé
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Loi de poisson et division par 3

Posté par
Azowel
30-06-21 à 12:57

Bonjour,
J'ai un exercice qui me donne du fil à retordre, le voici:

Simplifier pour tout k∈N l'expression Sk=1+jk+j2k où j=exp(2iπ3).
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre

Soit Y la variable aléatoire égale au reste de la division euclidienne de X par 3. Que vaut P(Y=0)? Calculer E(Y).


Pour la 1ère question on fait la somme géométrique et on trouve 0 donc ça ça va
Pour la seconde question cela revient à chercher la proba des X = 3p:

P(Y=0) = P(X=3p) = e-11/(3p)!
Et là je bloque.

Pour l'espérance j'imagine qu'il faut trouver P(Y=k), je ne vois pas comment non plus.

Merci de votre aide.

Posté par
Azowel
re : Loi de poisson et division par 3 30-06-21 à 12:58

c'est j = exp(2i*pi/3), de paramètre 1, j'ai c/c l'énoncé

Posté par
carpediem
re : Loi de poisson et division par 3 30-06-21 à 13:58

salut

Azowel @ 30-06-2021 à 12:58

c'est j = exp(2i*pi/3), de paramètre 1, j'ai c/c l'énoncé
certes mais tu as le droit de te relire avant de poster ... car par exemple
Azowel @ 30-06-2021 à 12:57

Simplifier pour tout k∈N l'expression Sk=1+jk+j2k où j=exp(2iπ3).
n'est as compréhensible !!

il existe des outils pour écrire des exposants ou des puissances ...

tu as P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) = 1

et il doit bien y avoir un lien avec la première question ensuite ...

Posté par
Azowel
re : Loi de poisson et division par 3 01-07-21 à 22:51

Salut,
Bon en fait j'ai trouvé c'était pas trivial du tout.
Il ne fallait pas passer par P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) = 1
car P(Y = k) = P(X=3p+k) = e-11/(3p+k)!

en fait l'indication au-dessus sert à calculer la série,

en effet ex + ejx + e2j = xn(1+jn + j2n)/(n)!
= 3*x3p/(3p)!

bref c'est le genre de trucs que si on a jamais fait, découvrir ça à l'oral sans préparation bah c'est impossible sans indications (c'est un exercice issu du concours CCINP, pourtant plutôt accessible normalement)

Posté par
Azowel
re : Loi de poisson et division par 3 01-07-21 à 23:00

D'ailleurs:
E(Y) = e-1 (1/(3p+1)! + 21/(3p+2)! )

si ce 2 était un 1 on aurait pu utiliser P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) = 1
mais là ...



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