Annuler
connectez vous
probabilités en post-bac
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
- Décomposition des matrices en blocs, exponentielle de matrices - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
loi de Rademacher et covariance
Posté par robby3
Bonjour tout le monde,voilà un petit exercice:
une var à valeurs dans Z/,de carré integrable,
symétrique.
Citation :
Soit
une var indépendante de 
tel que )
avec 
1)loi de
2)calculer de 2 façons différentes![E[Y]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?E[Y])
3)donner une condition nécessaire et suffisante pour que=0)
en fonction de et de 
4)Donner une condition nécesaire et suffisante pour que
et ![W=1_{[X>0]}-1_{[X<0]}](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?W=1_{[X>0]}-1_{[X<0]})
soient indépendantes en fonction de et )
Soit
1)loi de
2)calculer de 2 façons différentes
3)donner une condition nécessaire et suffisante pour que
4)Donner une condition nécesaire et suffisante pour que
je poste ce que je trouve(pour l'instant j'y ai pas encore bien réfléchi)
je trouve que
car x et Z sont indépendants et que X est symétrique.
donc la loi de Y c'est 2p.la loi de X.
ok?
Re robby!
On sait que Z ne peut valoir que -1 ou 1?? Prux-tu me rappeler ce qu'est une va de Rademacher s'il-te-plaît?
Sinon ta formule des probabilités totales est fausse, il faut multiplier chaque terme du second membre par P(Z=1) (pour le premier) et P(Z=-1) (pour le deuxième). 
pour la2)
une premeire méthode c'est de faire par indépendance.
la 2eme méthode c'est de faire par définition de l'espérance,là j'ai plus de difficulté
ça veux dire que prend la valeur 1 avec une proba égale à
et -1 avec une proba de
(et là je m'aperçois que je me suis planté dans mes calculs)
D'accord!Ce n'est donc rien de plus qu'une Bernouilli particulière!
Citation :
(et là je m'aperçois que je me suis planté dans mes calculs)
(et là je m'aperçois que je me suis planté dans mes calculs)
en fait
je trouve que comme P(Z=1)=p et que P(Z=-1)=1-p
que X et -X ont meme loi
P(Y=k)=P(X=k) ??
est-ce que je fais fausse route??
PAr indépendance on a:
¨P(ZX=x) = P(X=x)P(Z=1) + P(X=-x)P(Z=-1) = P(X=x) (P(Z=1)+P(Z=-1) (par symétrie) = P(X=x).
Ainsi, X et Z ont la même loi.
je m'explique pour la 3)
Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0
<=>
E[XY]=E[X]E[Y]
<=>
E[X².Z]=E[X²].(2p-1)
<=>
E[X²].E[Z]=E[X²].(2p-1)(possible ssi X² est independant de Z).
non?
Attends pour la 2) il y a un souci non?
donc comme 2p-1 est différent de 1, E(X)=0!
Où est l'erreur?
POur la 3, l'équivalence
Citation :
E[XY]=E[X]E[Y]
<=>
E[X².Z]=E[X²].(2p-1)
E[XY]=E[X]E[Y]
<=>
E[X².Z]=E[X²].(2p-1)
est fausse, on n'a pas E(X)²=E(X²) !
Ah oui j'avais oublié ce résultat, il est donc tout-à-fait cohérent de tomber sur E[X]=0.
En plus c'est assez évident quand on y réfléchit 5 secondes...
Quelle est donc la deuxième méthode attendue dans ce cas?Il suffit de dire que E(Y)=E(Z)E(X)=0, point!
Pour la question 3, on a, par nullité de E(X) :
Cov(X,Y)=0 <=> E(XY) - E(X)E(Y) = 0 <=> E(X²Z) = 0.
Or les valeurs prises par X²Z sont 0, les entiers de la forme k² lorsque Z=1, et ceux de la forme -k² lorsque Z=-1.
De plus pour k entier strictement positif on a :
* P(X²Z=k²) = P(Z=1 et (X=k ou X=-k)) = p.P(X=k) + p.P(X=-k) (indépendance) = 2pP(X=k) (symétrie).
*P(X²Z=-k²) = P(Z=-1 et (X=k ou X=-k))= = 2(1-p)P(X=k).
Par suite,
Sauf erreur bien entendu! 
faut-il rejouer avec la covariance pour la derniere question?
je n'ai pas vraiment d'idées et la tete de W me plait pas trop
W est quelqu'un de bien:c'est le signe de X! 
Il vaut 1 si X>0, -1 si X est négatif, 0 si X est nul.
PAr suite, |X|W = X et E(|X|W)=E(X)=0.
Reste à comparer ce résultat avec E(|X|)E(W).
Or E(W)=1.P(X>0)+0.P(X=0)-1P(X<0)=P(X>0)-P(X<0) qui devrait être nul par symétrie de X!
Par conséquent, |X| et W m'ont l'air tout le temps indépendant, ce qui est quelque peu suspect! 
Ok Tigweg mais la covariance de deux var peut etre nulles sans que que ces var soient forcément indépendantes il me semble.
Mince, tu as raison robby!
C'est tout-à-fait cela!
Bon, au moins c'est rassurant.
Mise à part la définition de l'indépendance, y a-t-il une propriété qui la caractérise?
bah là, je vois pas trop...calculer la loi du couple et montrer qu'elle est égale aux produit des lois marginales mais là,je pense que ça va etre dur vu qu'on sait rien sur X à part qu'elle est symétrique
mise à part ça,je vois pas trop
Bon en fait y a que très peu de cas, car
*P(W=1)=P(X>0)=P(X<0)=(1-q)/2
*P(W=-1)=P(X<0)=(1-q)/2
*P(W=0)=P(X=0)= q.
De plus, P(|x|=k) = 2P(X=k) si k > 0, q si k=0 , 0 si k < 0.
Comparons avec la proba des différentes intersections possibles:
Si k 0, P(|X|=k et W=1) = P(|X|=k et W=-1) = P(|X|=k et W=0) = 0 et c'est toujours égal au produit des deux probas.
Si k > 0,
* P(|X|=k et W=1) = P(X=k) ; on compare à P(|X|=k)P(W=1) = 2P(X=k)(1-q)/2 = P(X=k)(1-q)
Donc il est nécessaire que q=0 ou que pour tout k > 0, P(X=k) = 0 (ce qui équivaut à dire que soit P(X=0) = 0, soit, par symétrie de X, que tous les P(X=k) avec k non nul sont nuls).
* P(|X|=k et W=-1) = P(X=-k) = P(X=k) ; on compare à P(|X|=k)P(W=-1) = P(X=k)(1-q)
et on retombe sur le même cas qu'avant.
* P(|X|=k et W=0) = 0 ; on compare avec P(|X|=k)P(W=0) = 2qP(X=k).
Là encore, ces deux résultats sont égaux ssi q=0 ou si pour tout k non nul, P(X=k)=0.
Remarquons que ces deux conditions sont exclusives l'une de l'autre puisqu'il faut que la somme des P(X=k) lorsque k décrit Z soit égale à 1.
La réciproque est évidente.
Conclusion : |X| et W sont indépendantes ssi P(X=0) = 0 ou pour tout k non nul, P(X=k) = 0.
Petite erreur:
si k = 0, P(|X|=k et W=0) = P(X=0) = q . Le produit des probas vaut P(X=0)P(X=0)=q².
Il est donc nécessaire que P(X=0) vaille 0 ou 1, ce qui est confirmé par la suite de la discussion (voir post précédent).
:o
bah Merci Maitre Tig, c'est parfait!
je relis ça plus calmement mais je crois que j'ai presque tout pigé
Citation :
De plus, P(|x|=k) = 2P(X=k) si k > 0, q si k=0 , 0 si k < 0.
De plus, P(|x|=k) = 2P(X=k) si k > 0, q si k=0 , 0 si k < 0.
>c'est pas 2q si P(X=0)??
Citation :
Si k > 0,
* P(|X|=k et W=1) = P(X=k) ; on compare à P(|X|=k)P(W=1) = 2P(X=k)(1-q)/2 = P(X=k)(1-q)
Donc il est nécessaire que q=0
Si k > 0,
* P(|X|=k et W=1) = P(X=k) ; on compare à P(|X|=k)P(W=1) = 2P(X=k)(1-q)/2 = P(X=k)(1-q)
Donc il est nécessaire que q=0
>que q=1 non?
sinon ok.
Non à tes deux questions.
Pour la première, si k=0 on tombe sur P(|x|=0) soit sur P(X=0) , ou encore q.
Pour la deuxième, l'équation P(X=k) = (1-q)P(X=k) équivaut bien à q=0 ou P(X=k)=0.
Tig si tu peux jeter un coup d'oeil ici
probleme sur la loi de Paréto
*** edit Tom_Pascal : lien corrigé ***
Oh non je suis dégoûté!!
Je t'ai répondu sur le topic en question, mais il y a un bug,il semble qu'il soit impossible de continuer à y poster...
J'ai copié ce que j'avais écrit et comme un benêt j'ai redémarré l'ordinateur au cas où le problème proviendrait de moi...et bien sûr je ne peux plus coller ce que j'avais écrit. 
Ce n'est pas de ta faute, Tom-Pascal!, votre site est déjà super, il est normal qu'il subsiste quelques imperfections!
Mais merci de ton message!