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Loi exponetielle et convergence en loi

Posté par
robby3 10-06-08 à 16:53

Bonjour tout le monde;
j'ai un petit soucis avec cet exercice:

Citation :

Soit (X_n)_{n\ge 1} une suite de variables indépendantes suivant la loi exponentielle de parametre 1/n
et soit Y_n=X_n-[X_n]
1)Quel est l'ensemble des valeurs prises par Y_n.
2)Fonction de répartition de Y_n?
3)En déduire que Y_n converge en loi vers Y dont on précisera la loi.

>pour la 1) ok!
Y_n prend ses valeurs dans [0,1].

pour 2) j'ai déjà du mal:

on cherche F_{Y_n}(y)=P(Y_n\le y)=P(X_n-[X_n]\le y)

aprés j'avais fait P(X_n-[X_n]\le y)=p(X_n\le y+[X_n])
mais je crois pas que ça sert à grand chose...
une idée pour me débloquer?

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 18:00

Sympa cet exo. Voilà ce que je propose:

1) Déterminer la loi de [X_n].
2) Déterminer la loi conditionnelle de X_n sachant [X_n].
3) Calculer alors P(X_n-[X_n]\le y).

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 18:09

Salut Stokastik.
tu me proposes un autre exo

1)pour déterminer la loi de [X_n],je regarde sa fonction de répartition?

j'ai F_{[X_n]}(x)=P([X_n]\le x)...aprés que faire avec cette partie entiere?
(la partie entiere est définie par [x]\le x\le [x]+1)
c'est la bonne piste?

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 18:29


Réfléchis, quelles valeurs peut prendre [X_n] ? Et quand [X_n] prend une certaine valeur, comment cela se traduit-il sur X_n ?..

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 18:36

X_nprend ses valeurs dans [0,+\infty]

donc [X_n] prend les memes valeurs non??
j'aime pas la partie entiere...

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 18:37

je sais que X_n \in [0,+\infty] et X_n-[X_n] \in [0,1]

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 18:40


Et ben prends quelques nombres au hasard et calcule leur partie entière...

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 18:43

Probabilité(Convergence)

Citation :
posté par : stokastik
robby3 quand vas-tu te décider à remplacer les variables par quelques valeurs numériques afin de comprendre les formules mathématiques ?

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 18:47

ahh je l'avais déjà posté!!!




non mais si je prend x=3.2
[x]=3 ok?

si x=10.6
[x]=11 non?

ainsi de suite...
je dirais donc que [X_n]\in N.

meme si je l'ai déjà poster,j'aimerais quand meme faire tes questions.

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 18:50

Non tu ne l'as pas posté mais ce sont les mêmes remarques que je te fais... et va voir l'autre post je te conseillais de faire un dessin aussi... maintenant fais-moi plaisir et réfléchis sérieusement à mes indications avant de reposter...

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 20:55

bon je réessaye sur la pointe des pieds...

on a P([X_n]=k)=P(X_n \in[k,k+1[)=\Bigint_{k}^{k+1}\frac{1}{n}.exp(-\frac{x}{n} dx.

mais je maintiens quand meme que [X_n] est à valeurs dans N.
j'ai réfléchis là pourtant...

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 21:14

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 21:26

OUF!

P([X_n]=k)=exp(-\frac{k}{n})(exp(-\frac{1}{n})-1)
ok?

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 21:35

Ah je ne sais pas mon gars, pas envie de faire des calculs. T'es assez grand pour vérifier!

Tu sais moi quand j'étais en terminale par exemple, si j'avais cette intégrale à calculer et que je voulais absolument vérifier mon résultat, j'utilisais ma caltoche, une TI-85 (donc qui ne fait pas du calcul formel), pour quelques valeurs de  k  et quelques valeurs de  n  j'évaluais l'intégrale et j'évaluais la formule que j'avais trouvée.. si je trouvais pareil alors j'étais triplement rassuré.

Sinon là, puisque c'est une proba que tu calcules, je regarderais si on voit que le résultat est bien entre 0 et 1... et dans ton cas il me semble que ce n'est pas le cas donc je referais les calculs....

L'art de "vérifier" par soi-même, il faudrait l'enseigner!

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 21:48

ça me semble correct pourtant...
la primitive de \frac{1}{n}exp(-\frac{x}{n}) est -exp(-\frac{x}{n}) sauf erreur...
donc entre k et k+1...
[-exp(-\frac{x}{n})]_k^{k+1}=(-exp(-\frac{k}{n})+exp(-\frac{k+1}{n})=exp(-\frac{k}{n})(exp(-\frac{1}{n})-1)

donc,je pense pas avoir fait de bourdes pour une fois

f_{\{X_n|[X_n]=x\}}(y)=\frac{f_{\{X_n,[X_n]}\}(x,y)}{f_{\{[X_n]=x}\}(x)}

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 21:53

Il me semble évident que dans ta formule de 21:26, on trouve une proba négative..

rappel:

Citation :
posté par : stokastik
robby3 quand vas-tu te décider à remplacer les variables par quelques valeurs numériques afin de comprendre les formules mathématiques ?

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 21:58

Maple me donne exp(-\frac{k+1}{n})(exp(\frac{1}{n})-1)!!

Posté par
veledare : Loi exponetielle et convergence en loi 10-06-08 à 22:18

bonsoir R et S
>>robbystokastik a raison " valeur d'une primitive en(k+1)-valeur de cette primitive en k" tu a s ecrit l'opposé
Maple a la bonne réponse

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 11:00

ok Veleda,
bon on a la réponse grace à maple alors

pour la loi conditionnelle, mon message (fin) de 21h48 est-il correct?

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 11:36

dois-je utiliser plutot le fait que:
P(X_n|[X_n])=\frac{P(X_n\cap[X_n])}{P([X_n]=x)}

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 11:37


Je sais pas trop ce que tu brisoles. Je t'aiguille:

Citation :
2) Déterminer la loi conditionnelle de X_n sachant [X_n].


Pour faire cela, tu vas te fixer un entier n quelconque, et tu vas detérminer la loi de X_n conditionnellement à l'événement \{[X_n]=n\}.

Le plus simple je pense est de déterminer  P\left(X_n \leq x | [X_n]=n\right), i.e. la fonction de répartition de X_n conditionnellement à \{[X_n]=n\}.

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 11:39

Doublement non pour ton post de 11:36. D'abord ce que tu as écrit n'a pas de sens. Ensuite tu tentes de déterminer la loi conditionnelle à l'aide de la loi conjointe et de la loi marginale de [X_n] qu'on a déterminé avant. Mais on ne connait pas la loi conjointe, suis mon post précédent et calcule directement la loi conditionnelle.

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 11:51

on cherche bien P(X_n|[X_n]=n)??

par ailleurs je n'ai jamais vu ni en cours ni en DM, ni en exo la fonction de répartition conditionnellement à un évenement...

P(X_n\le x|[X_n]=n)=\frac{P(X_n\le x\Bigcap [X_n]=n)}{P([X_n]=n)}

or P([X_n]=n)=P(n\le X_n< n+1)...on connait.

le probleme est donc de trouver
P(X_n\le x\Bigcap [X_n]=n)
et comme X_n et [X_n] ne semble pas vraiment indépendant(à moins que je ne me trompe encore une fois) je sais pas trop comment m'en sortir.

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 11:58


Citation :
on cherche bien P(X_n|[X_n]=n) ??


Il te suffit de le lire en français pour voir que ça n'a pas de sens : "probabilité que X_n conditionnellement à ..." => "probabilité que X_n" ??? On parle de proba d'un événement, pas de proba d'une variable aléatoire!


Ensuite réfléchis à l'égalité 2$P([X_n]=n)=P(n\le X_n< n+1), d'où vient-elle ? D'un truc bien plus fort: on a en fait l'égalité des événements 4$\{[X_n]=n\}=\{n\le X_n< n+1\}, donc en particulier l'égalité des probabilités de ces événements. D'ailleurs c'est ainsi que tu devrais justifier l'égalité de ces probas.

Maintenant il te suffit donc de remplacer \{[X_n]=n\} par \{n\le X_n< n+1\} et tout ira comme sur des roulettes.

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 12:47

Citation :
donc en particulier l'égalité des probabilités de ces événements. D'ailleurs c'est ainsi que tu devrais justifier l'égalité de ces probas.

>c'est exactement ce que je dit.
enfin, c'est ce que j'avais bien compris.

par contre,je suis amené à calculer P(\{X_n\le x \Bigcap \{n\le X_n<n+1\})
ce serait P(n\le X_n\le x+n+1)
le x dont on parle il vit bien dans [0,+\infty]?

et donc aprés,connaissant la loi de X_n,c'est un calcul d'intégrale...

est-ce correct?

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 14:12

Citation :
4$\{X_n\le x \} \cap \{n\le X_n<n+1\}


Encore une fois je t'invite à faire un dessin pour simplifier l'écriture de  cet événement, qui n'est pas du tout ce que tu as écrit par la suite ( il faudra distinguer selon les valeurs de x)

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 17:10

Si n<x< n+1
>\large \{X_n\le x\}\Bigcap \{n\le X_n<n+1\}=\{n\le X_n\le x\}


Si n>x>n+1
>\large \{X_n\le x\}\Bigcap \{n\le X_n<n+1\}=\{n\le X_n\le n+1\}

six=n+1
>\large \{X_n\le x\}\Bigcap \{n\le X_n<n+1\}=\{n\le X_n\le n+1\}

si x<n
>\large \{X_n\le x\}\Bigcap \{n\le X_n<n+1\}=\{\scr{vide}\}

est-ce qu'on est d'accord...

(j'ai fais un axe ou j'ai mis n,n+1 et x et j'ai regardé les différentes possiblités de placement des 3 éléments sur cet axe.)

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 21:12

Ben ouais tu vois avec un dessin tu devrais être persuadé. Remarque que 4$\{X_n\le x \} \cap \{n\le X_n<n+1\}= \{X_n \in [0,x] \cap [n,n+1[\} et en fait ce que tu détermines c'est 4$[0,x] \cap [n,n+1[.

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 21:43

mais ce que j'ai fais c'est correct?
ou pas du tout?

je suis un peu perdu dans tout ça...
on cherche P(X_n=x|[X_n]=n) c'est bien ça?

et \large P(X_n=x|[X_n]=n)=\frac{P(\{X_n=x\}\cap \{[X_n]=n\})}{P([X_n]=n)}=\frac{P(\{X_n\in [0,x]\cap[n,n+1]\})}{P([X_n]=n)}

et c'est là que je différencie les cas?(je reprend ce que j'ai fais à 17:10?)

est-ce la bonne piste ou vraiment pas!

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 22:16

Mon cher ami,

Oui tu es sur la voie. Tu es en droit de te demander si c'est la bonne piste, car je ne t'ai proposé rien qu'un plan de la synthèse, sans te parler de l'analyse!

Regarde ton tout premier post, tu as remarqué qu'il sagit de calculer

5$P(X_n\le y+[X_n]).

Alors, pourquoi je t'ai lancé sur la loi de [X_n] et la loi conditinonelle de X_n sachant [X_n] ? Je vais te le dire mon cher ami. Parce que 2$P(X_n\le y+[X_n]), ça pue à première vue. Mais pour un entier n quelconque, P([X_n]=n) je sais le calculer, ainsi que

5$P(X_n\le y+[X_n] | [X_n]=n)=P(X_n\le y+n |[X_n]=n)

Tout cela se calcule comme tu as pu le constater. Et par la formule des probabilités totales,

5$P(X_n\le y+[X_n])=\sum_n P(X_n\le y+[X_n] | [X_n]=n)P([X_n]=n) .

Il s'agit donc de calculer 3$P(X_n\le y+n |[X_n]=n) et 3$P([X_n]=n), puis de calculer la somme de la série. Dans ta rédaction, il n'est donc pas nécessaire que tu parles de la "fonction de répartition conditionnelle" comme je disais ; cela était une façon de dire, mon cher ami, qu'il faut calculer 3$P(X_n\le x |[X_n]=n), avec 3$x=y+n dans ton problème.

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 22:30

1er réaction:

2eme réaction::o

c'est assez astucieux je dois bien l'avouer...en tout cas c'est jolie.

je calcul donc:
\large P(X_n\le y+n|[X_n]=n)=\frac{P(\{X_n\in [0,y+n]\cap[n,n+1]\})}{P([X_n]=n) \\
donc au final

\large P(X_n\le y+[X_n])=\Bigsum_n P(\{X_n\in [0,y+n]\cap[n,n+1]\})

je fais le distinguo des cas avec y+n(=x) comme j'ai fait à 17h10??

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 22:54

(en plus tu savais dés le début comment passer par là pour faire l'exo!)

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 23:09

Je n'ai pas essayé de faire les calculs mon cher ami À toi de me dire ce que donnnent tes tentatives

À part ça, en effet, j'avais pas remarqué que le P([X_n]=n se simplifie comme tu viens de le remarquer... Donc il n'y a pas besoin de calculer P([X_n]=n).

Et donc en fait j'ai un peu compliqué en conditionnant. Il suffisait de dire que

5$P(X_n\le y+[X_n])=\Bigsum_n P\left( \{X_n \leq y+n\}\cap \{[X_n]=n\}\right).


Mais néanmoins profitons-en pour prendre du recul sur la démarche. Qu'on utilise la formule ci-dessus ou bien la formule

5$P(X_n\le y+[X_n])=\Bigsum_n P(X_n\le y+n | [X_n]=n)P([X_n]=n),

dans les 2 cas ce qu'on a fait c'est qu'on a décomposé la proba de départ en une somme.

Je viens de m'interroger un bon moment sur pourquoi j'ai le réflèxe de la 2ème formule plutôt que la 1ère. Peut-être que parfois il est plus simple de déterminer les probas conditionnelles que les probas des intersections.

Mais aussi, voilà pourquoi j'ai le réflexe de la 2ème formule. Dans les deux cas, on se "fixe" [X_n]. En fait ici la variable aléatoire qu'on "fixe" est discrète (prend ses valeurs dans \bb{N}). Dans le cas où la variable qu'on se fixe est continue, on est obligé d'utiliser la 2ème formule, celle avec les conditionnements, ou plutôt sa formule analogue avec une intégrale au lieu d'une somme, car la 1ère formule n'a pas d'analogue.

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 23:11

Citation :
en plus tu savais dés le début comment passer par là pour faire l'exo


Oui et non. Je n'ai pas essayé de faire les calculs, donc je ne sais pas ce que ça va donner. Mais je me suis dit que c'était le seul moyen qu'on avait donc que c'est probablement la solution.

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 23:22

Citation :
dans les 2 cas ce qu'on a fait c'est qu'on a décomposé la proba de départ en une somme.

> en une somme??

Citation :
je me suis dit que c'était le seul moyen qu'on avait donc que c'est probablement la solution.


>

donc en fait,une fois qu'on a la méthode, les calculs importent peu...c'est juste des intégrales...ce qui est important c'est le raisonnement qu'on fait.
et ton raisonnement était plutot malin!!
en tout cas, cet exo...direction les favoris!!
Merci Stokastik!!
ce fut impressionnant,vraiment!

Posté par
veledare : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 23:27

bonsoir,
je me permets de vous proposer ma methode qui est toute bête
0/////......1/////......2/////......3                k/////......k+1///
  < y >                                                < y >
Yn()=[0,1[

pour y appartenant à [0,1[        
(Yn=y)=_{k=0}^{+oo}(kXn(k+y)]
l'union étant disjointe
P(Yn=y)=\bigsum_{k=0}^{+oo}P(kXn(k+y))
                  =\bigsum_{k=0}^{+oo} [e^{-k/n}-e^{-(k+y)/n}]
                  =(1-e^{-y/n})\bigsum_{k=0}^{+oo}e^{-k/n} la somme étant celle d'une série géométrique de raison e^{-1/n}

j'espère que  je n'ai pas fait d'erreur et que vous allez trouver la même chose

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 11-06-08 à 23:36

Salut Veleda!
effectivement, j'ai ta méthode dans mes tds...et exactement les meme calculs...
mais là Stokastik a fait comme si c'était un exercice à part...ça m'a permis de voir plus de chose...c'était assez complet.
Mais e tout cas, j'en profite pour vous remercier tout les deux pour votre aide dans mes révisions de probabilité.

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 12-06-08 à 07:30

veleda, on devrait avoir P(Y_n=y)=0 non ?.. ah tu voulais écrire P(Y_n \leq y) plutôt, non ??

Posté par
veledare : Loi exponetielle et convergence en loi 12-06-08 à 11:07

bonjour,
>>Stokastik
oui bien sûr c'est Yy j'ai beaucoup de mal à taper correctement,pourtant j'ai fait un aperçu mais j'ai surtout vérifié la somme à droite et l'erreur de frappe était à gauche

Posté par
stokastikre : Loi exponetielle et convergence en loi 12-06-08 à 11:36

Ok. Ta méthode va vraiment droit au but. J'ai souvent la bêtise de tourner autour du pot.

Posté par
robby3re : Loi exponetielle et convergence en loi 12-06-08 à 12:01

Citation :
Ta méthode va vraiment droit au but

>c'est la meme que mon prof de TD...mais j'ai préféré passer par ta méthode Stokastik parce que ça semblait plus interressant...enfin on y manipulé plus de chose...
(proba conditionnel,formule des probas totales...manipulations d'ensembles...)
Enfin, bref, merci à tout les deux.


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