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Loi Gamma

Posté par
Kurenay 06-06-18 à 02:33

Bonsoir,
On suppose que \forall n1 , (X1,...,Xn) un vecteur gaussien de loi \mathcall{N}(0,I_n) où I_n est la matrice identité d'ordre n.

1) Déterminer la loi de X^2_1 puis celle de S_n=X^2_1+...+X^2_n

-\forall t \in \R,
\phi_{X^2_1} (t)= E[e^{itX^2_1}] = \int_{-\infty}^{+\infty}{e^{itx^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}{e^{\frac{-1}{2}(1-2it)x^2}dx} \\ On \ pose \ u=(1-2it)^{1/2}x \\          \\ \frac{du}{dx}=(1-2it)^{1/2} \Leftrightarrow \   dx=(1-2it)^{-1/2}du \\ \\ Quand \ x\rightarrow -\infty \Rightarrow \ u \rightarrow -\infty \\ \\ Quand \ x\rightarrow +\infty \Rightarrow \ u \rightarrow +\infty \\ Donc\ \phi_{X^2_1} (t)= \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{u^2}{2}}(1-2it)^{-1/2}du} \\
On reconnait la densité d'une variable aléatoire qui suit une loi \Gamma (1/2,1/2). Donc par le théorème d'injectivité, X^2_1 \leadsto \Gamma(1/2,1/2)

\phi_{S_n}(x)=E[e^{i<x,S_n>}] =E[e^{i(xX^2_1,...,xX^2_n)}] =E[e^{i<(x,...,x),(X^2_1,...,X^2_n)>}]  = \phi_V(v) \ avec \ v=(x,...,x) \ et \ V= (X^2_1,...,X^2_n) \\ \\ \phi_V(v)= \phi_{X^2_1} (x) \times ... \times \phi_{X^2_n} (x) \  , \ (X_1,...,X_n) \ independant \Rightarrow (X^2_1,...,X^2_n) \ independant ? ? \\ \\ \phi_V(v)= [\phi_{X^2_1} (x)]^n \ , \  (X_1,...,X_n) \ de \ meme \ loi \Rightarrow (X^2_1,...,X^2_n) \ de \ meme \ loi ?? \\ \\ \phi_V(v)=(1-2it)^{-n/2}
Donc par le théorème d'injectivité, S_n \leadsto \Gamma(1/2,n/2)

2)Étudier la convergence en loi de (\frac{S_n}{n})_{n\geq 1}

\phi_{\frac{S_n}{n}}(x)= \phi_{S_n}(\frac{x}{n}) =[\phi_{X^2_1}(\frac{x}{n})]^n=[\frac{1}{1-2i\frac{x}{n}}]^n converge vers 1 et 1 est la fonction caractéristique d'une variable aléatoire nulle. Donc il y a convergence en loi vers 0.

Merci de bien vouloir me corriger.

Posté par
Kurenayre : Loi Gamma 06-06-18 à 02:42

Kurenay @ 06-06-2018 à 02:33


Donc par le théorème d'injectivité, S_n \leadsto \Gamma(1/2,n/2)

\Gamma (n/2,1/2) plutôt.

Posté par
Kurenayre : Loi Gamma 08-06-18 à 19:30

Posté par
verdurinre : Loi Gamma 08-06-18 à 20:23

Bonsoir,
par définition X_1^2 suit une loi \chi^2_1 et S_n une loi  \chi^2_n.

Pour la question suivante on a \text{E}(S_n)=n et donc \text{E}(\frac1n S_n)=1.
Il n'est donc pas possible que cette v.a. tende vers 0.

Posté par
verdurinre : Loi Gamma 08-06-18 à 22:24

Kurenay @ 08-06-2018 à 19:30


C'est super de faire des « up ».

Et c'est manifestement moins cher que de réagir aux réponses déjà données Loi de Cauchy.

Je regrette ma réponse précédente, et j'arrête ici ma participation à ce fil.

Posté par
Kurenayre : Loi Gamma 08-06-18 à 23:14

Bonsoir,

Je vous prie de m'excuser. Je n'ai pas encore répondu sur "Loi de Cauchy" car je n'avais pas tout compris, j'étais entrain de travailler sur les indications que vous m'aviez donné avant de réagir. J'en ai profité pour faire remonter cette exercice , en espérant que quelqu'un y réponde le temps que je finisse de comprendre l'exercice sur Cauchy.
Je vais donc réagir à vos réponses sur Cauchy mais je comprendrais que vous  ne vouliez plus me répondre, alors je vous remercie pour toute vos explications.

Posté par
verdurinre : Loi Gamma 09-06-18 à 21:35

De fait, il m'arrive d'avoir des crises de susceptibilité.

Posté par
Kurenayre : Loi Gamma 10-06-18 à 23:21

Pas de soucis

2)Nous n'avons pas étudier la loi khi-deux, donc je pense que le prof attendait qu'on se débrouille sans ces propriétés. (Exercice tombé en exam)
Peut-on utiliser les fonctions caractéristiques ici ou pas ?

Posté par
verdurinre : Loi Gamma 11-06-18 à 19:35

Bonsoir,
je ne connaissais pas la loi à deux paramètres.
En allant faire un tour sur Wikipédia, il me semble que ta réponse est correcte, pour X_1^2 et pour S_n.

On peut toujours utiliser les fonctions caractéristiques. Ce n'est pas toujours une bonne idée, mais ici ça fonctionne.

Mais je me répète \text{E}\bigl(\frac1n S_n\bigr)=1.
Ce qui est facile à vérifier en utilisant la linéarité de l'espérance et le fait que \text{E}(X_i^2)=1.
Il est donc impossible que \frac1n S_n converge vers 0.

De fait \frac1n S_n converge vers 1.
Sauf erreur de ma part.

Posté par
Kurenayre : Loi Gamma 11-06-18 à 21:16

D'accord parfait, merci beaucoup


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