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Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires

Posté par
TheCat 27-04-14 à 16:58

Bonjour,

je suis bloquée sur cette question:
Soit 0<p<1 un nombre réel. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes deux la loi géométrique de paramètre p.

1/ Calculer loi de X+Y

J'ai commencé par: P(X+Y=k)= (P(X=i)P(Y=k-i))                  avec la somme de i=0 jusqu'à k.
                           = p(1-p)^(i-1)*p(1-p)^(k-i-1)
                           = p(1-p)^(k-2)

Je n'arrive pas à finir mon calcul...
Si quelqu'un peut m'aider, je le remercie.

Posté par
carpediemre : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 27-04-14 à 17:01

salut

factorise par p ....

Posté par
TheCatLoi géométrique: somme de deux variables aléatoires 27-04-14 à 17:17

Je suis désolée, je ne vois toujours pas...
pour continuer j'ai écris p(1-p)^(k-2) = (p(1-p)^k)/(p(1-p)^2)
je pense que la forme sous laquelle j'écris cette somme n'est pas la bonne, c'est pour ça que je suis bloquée. Mais je ne vois pas comment factoriser p pour retomber sur une formule que je connais

Posté par
carpediemre : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 27-04-14 à 17:18



\sum p(1 - p)^{k - 2} = p \sum (1 - p)^{k - 2}

et on reconnaît la somme d'une série géométrique ..

Posté par
TheCatre : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 27-04-14 à 17:27

Veuillez m'excuser, j'ai le cerveau (un peu) lent...
Merci beaucoup, je devrais pouvoir m'en sortir maintenant

Posté par
carpediemre : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 27-04-14 à 17:38

de rien

Posté par
veledare : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 27-04-14 à 20:13

bonsoir,

X(\Omega)=Y(\Omega)=N^*  
donc est ce que ce n'est pas  pour   k\ge 2 P(X+Y=k)=\sum_{i=1}^{k-1}P(X=i)P(Y=k-i)

Posté par
veledare : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 27-04-14 à 20:44

=\sum_{i=1}^{k-1}p^2(1-p)^{k-2}
tu as perdu un facteur p en route et  c'est i qui varie pas k

Posté par
TheCatsomme de deux variables aléatoires 01-05-14 à 20:04

Oui, je l'ai vu par la suite en revoyant le calcul! Merci quand même.
Ensuite j'ai fais:
p²(1-p)^(k-2)                 de i=1 à k
=p²(1-p)^(k-2)1               de i=1 à k-1
=(k-1)p²(1-p)^(k-2)

je ne comprends pas pourquoi vous mettez votre somme de i=1 à k-1 dés le début...

Posté par
veledare : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 01-05-14 à 21:14

X(\Omega)=N* donc X1 de même pour Y ,k2
sinon ton résultat est exact,tu peux vérifier que\sum_{k=2}^{+\infty}p^2(k-1)(1-p)^{k-2}=1

Posté par
TheCatre : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 01-05-14 à 23:32

D'accord, merci beaucoup!
Puis-je me permettre de solliciter encore votre aide? Je suis vraiment bloquée dans cet exercice (toujours le même) et j'aimerais bien arriver à le faire.
J'ai encore trois questions:

1) Calculer l'espérance de X+Y: X et Y suivent la loi géométrique de paramètre p. La fonction de l'espérance étant linéaire on devrait avoir: E(X+Y)= E(X)+E(Y)= 1/p + 1/p = 2/p

2) Calculer P(X=Y). En déduire P(X>Y). Je ne sais pas du tout comment commencer...

3) On définit D comme le reste de la division euclidienne de X par 2. Calculer la loi de D. Je n'y arrive pas non plus.

Si vous pouviez me donner quelques pistes je vous en serait reconnaissante.

Posté par
veledare : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 02-05-14 à 00:28

1) c'est d'accord

2)
(X=Y)=\cup_{k=1}^{+\infty}(X=k)\cap(Y=k) \\ P(X=Y)=\sum_{k=1}^{+\infty}P(X=k)P(Y=k)=... indépendance de X et Y

(X=Y),(X>Y),(X<Y) forment un système complet d'événements
X et Y ont la même loi donc P(X>Y)=P(Y>X) et tu viens de calculer P(X=Y)

3)D est le reste de la division de X par 2 donc D ne prend que les valeurs 0 et 1D(\Omega)={0,1}

(D=0)=\cup_{k=1}^{+\infty}(X=2k)=>P(D=0)=....

bon courage

Posté par
TheCatre : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 03-05-14 à 16:52

Bonjour,

les pistes que vous m'avez données m'aide, cependant je ne comprends pas comment déduire P(X>Y) de P(X=Y)...
Pour P(X=Y) = p(1-p)^k-1*p(1-p)^k-1    de k=1 à n
            = p^2 (1-p)^2k-2*1         de k=1 à n-1
            = p^2(n-1)(1-p)^2k-2


pour le 3)je trouve P(D=0)=P(X=2k)      de k=1 à n
                          = p(1-p)^2k-1        
                          = p(n-1)(1-p)^2k-1

Il faut calculer ensuite D=1? dans ce cas X=2k+1? (je ne comprends pas très bien...)

Posté par
lafol Moderateurre : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 03-05-14 à 17:46

bonjour
veleda te l'a pourtant expliqué ! P(X < Y) = P(X > Y), et P(X < Y) + P(X = Y) + P(X > Y) = 1...

Posté par
veledare : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 03-05-14 à 19:52

>>
ton résultat pour P(X=Y) est inexact,il ne doit plus y avoir  de k,    k varie de 1 à +OO
P(X=Y)=p^2\sum_{k=1}^{+\infty}(1-p)^{2(k-1)}  tu dois savoir calculer la somme

Posté par
veledare : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 03-05-14 à 21:01

3)tu fais la même erreur,tu ne peux pas sortir (1-p)^{2k-1) de la somme
P(D=0)=p\sum_{k=1}^{+\infty}(1-p)^{2k-1} il te reste à préciser la somme

D ne prend que les valeurs 0 et 1 donc P(D=0)+P(D=1)=1
si tu as calculé P(D=0) tu peux donc en déduire P(D=1) (mais tu pourrais aussi faire le calcul direct)

Posté par
TheCatre : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 03-05-14 à 21:02

Si c'était k(1-p)^2(k-1) j'aurais su faire mais là...je ne vois pas du tout

Posté par
lafol Moderateurre : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 03-05-14 à 21:18

c'est géométrique !

P(D=0)=p\sum_{k=1}^{+\infty}(1-p)^{2k-1}=\dfrac{p}{1-p}\sum_{k=1}^{+\infty}((1-p)^{2})^k}

Posté par
veledare : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 03-05-14 à 22:58

pour P(X=Y)
P(X=Y)=p^2\sum_{k=1}^{+\infty}(1-p)^{2(k-1)}=p^2\sum_{K=0}^{+\infty}((1-p)^2))^K

Posté par
TheCatre : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 04-05-14 à 14:59

P(X=Y)= (p^2 /3)*((3(1-p)^2)^K
      = (p^2 /3)* 1/p^(2K)
      = 1/3 p^2(1-K)
   ???
Je suis désolée, je fais vraiment un gros blocage sur cette somme... je n'ai jamais vu ce type de somme auparavant, ou du moins je ne m'en souviens pas

Posté par
veledare : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 04-05-14 à 15:14

P(X=Y)=p^2\sum_{K=0}^{+\infty}(q^2)^K en posant (1-p)=q
\sum_{K=0}^{+\infty}(q^2)^K c'est la somme d'une série géométrique de raison q² de premier terme 1 c'est donc \frac{1}{1-q^2}
d'où
P(X=Y)=\frac{p^2}{1-q^2}=\frac{p^2}{(1-q)(1+q)}=\frac{p}{1+q}

Posté par
TheCatre : Loi géométrique: somme de deux variables aléatoires 08-05-14 à 17:54

Merci beaucoup pour votre aide!


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