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loi stable

Posté par
robby3 22-06-08 à 20:08

Bonsoir tout le monde, j'ai quelques difficultés avec cet exercice...

Citation :
Soit X une var
On dit que X a une loi stable si pour tout n\ge 1 et pour toute suite (X_1,...,X_n) de var indépendantes et de meme loi que X, il existe des constantes a_n>0 et b_n telles que
S_n=\Bigsum_{k=1}^n X_k et a_n.X+b_n
suivent la meme loi
Vérifier que si X suit la loi exponentielle E(\lambda) avec \lambda>0
alors X n'est pas de loi stable
Montrer que si X suit la loi Normale N(n,\sigma^2) avec \sigma^2 alors X est de loi stable
Finalement, proposer un autre exemple de loi stable.


>il me semble que la somme de variable aléatoire indépendante suivant la loi exponetielle de parametre \lambda suit une loi expo de parametre n.\lambda.
et je comprend pas comment répondre à la question?

Merci d'avance!

Posté par
PILre : loi stable 22-06-08 à 22:26

Bonsoir Robby,

La somme de n va indépendantes de loi exponentielle de paramètre   est une va de loi gamma de paramètres et n, de densité

3$\rm f(x) = \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} x^{n-1}e^{-\lambda x}

Cela doit permettre de répondre à la première question !

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 22-06-08 à 22:58

Je complète le sujet, si je puis me permettre :

Citation :
1) Montrer que, si \Large{X\sim\mathcal{E}(\lambda)} avec \Large{\lambda>0} alors \Large{X} n'est pas de loi stable.

2) Montrer que, si \Large{X\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)} avec \Large{\sigma^2>0} alors \Large{X} est de loi stable.

3) Si \Large{X} est de loi stable, de moyenne \Large{m} et variance finie \Large{\sigma^2>0}, déterminer les coefficients \Large{a_n,\,\,b_n}.


Je regarde le petit 1), qui est exactement ce que donne PIL comme exemple. Par contre, je ne connais pas la loi gamma.

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 22-06-08 à 23:04

(dans le 2), remplacer le 0 par m)

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 22-06-08 à 23:17

Est-ce que l'on a construit la loi Gamma à partir de la somme de loi exponentielle, ou trouve-t-elle son origine ailleurs ?

Posté par
robby3re : loi stable 22-06-08 à 23:53

en fait j'ai toujours pas saisi comment on montré que
qu'il n'existait ni a_n ni b_n...en fait je comprend pas trop les questions

Posté par
PILre : loi stable 23-06-08 à 00:59

Bonsoir,

Si X est une va de loi exponentielle de paramètre , sa densité est f(x) = e-x pour x0. Si a>0 et b sont des constantes, la va Y = aX + b admet pour densité la fonction g(y) définie pour yb par

3$\rm g(y) = \frac{1}{a} f(\frac{y-b}{a}) = \frac{\lambda}{a} e^{-\lambda(\frac{y-b}{a})

et qui sera toujours (quels que soient a et b) différente de la distribution (,n). D'accord ?

Les choses deviennent plus claires en montrant que la loi normale est stable !

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 10:38

Si \Large{Y=aX+b} j'arrive à montrer que \Large{f_Y(y)=\frac{\lambda}{a}exp(\frac{-\lambda(y-b)}{a}).


En revanche, je ne vois pas comment déterminer \Large{f_{S_n}} comme dans ton post de 22:26.

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 11:04

OK PIL!!
là c'est plus clair pour moi...
H_aldnoer...il eme semble que c'est un produit de convolution...essaye pour 2...

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 11:24

j'essaye de le faire pour la loi N(0,1):

soit \large X\sim N(0,1) et \large Y\sim N(0,1) \\
alors
\large f_{(X,Y)}(x,y)=\frac{1}{2\pi}exp(-\frac{x^2+y^2}{2})

ensuite je regarde la var \large Z=aX+b...c'est clairement une var gaussienne tel que:

\large E[Z]=aE[X]+b \\ V[Z]=a^2.V[V]

donc pour \large b=0 et \large a=1 ça fonctionne,sauf erreur.

Ensuite,
si \large X\sim N(m,\sigma^2) et \large Y\sim N(m,\sigma^2)

on a X+Y est une var gaussienne,d'espérance 2m et de variance 2\sigma^2

alors \large Z=aX+b a pour espérance \large am+b et variance \large a^2.\sigma^2

donc j'ai:

\large a.m+b=2.m \\ a^2=2

donc a=\sqrt{2} et b=m.(2-\sqrt{2})

est-ce que je répond correctement aux questions??

Posté par
PILre : loi stable 23-06-08 à 11:56

Bonjour,

H_aldnoer, Robby te donne le bon conseil ...

Robby, c'est juste, tu as compris ! Si tu veux bien y réfléchir, ce résultat est lié à la propriété qu'on exploite quand on utilise des tables de la loi normale :  si X est une va N(m,2) alors la va réduite  X* = (X-m)/ = (1/)X -(m/) suit la loi N(0,1).

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 12:00

oui, je me disais bien que y'avait un lien avec ce truc là...c'est comme quand X suit la loi N(0,1) alors  \sigmaX+msuit la loi N(m,\sigma^2)...c'est du meme tonneau

il faut que je trouve un autre exemple de loi stable??
j'y réfléchis

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 12:19

euh en fait par intuition je pense que la loi de Cauchy convient(car la densité est une fonction paire donc les var sont symétriques,un peu comme dans la loi N(0,1)...)

mais déjà, si X\sim C(1) et Y\sim C(1)
on a \large f_X(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)} \\ f_Y(y)=\frac{1}{\pi(1+y^2)}

mais pour déterminer la loi de X+Y, c'est un produit de convolution:

\large \Bigint_R f_X(x).f_Y(y-x) dx=\frac{1}{\pi^2} \Bigint_R \frac{1}{1+x^2}.\frac{1}{1+(y-x)^2} dx
je suis un peu coincé

Posté par
PILre : loi stable 23-06-08 à 13:27

Pour calculer ton produit de convolution, pourquoi pas la transformaton de Fourier ?

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 14:20

la transformation de fourier??
je crois que j'ai pas saisi là?

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 14:49

Si je prend \Large{X_1\sim\mathcal{E}(\lambda)} et \Large{X_2\sim\mathcal{E}(\lambda)}, comment détermine-t-on la loi de \Large{X_1+X_2} ?!?

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 15:08

tu dis soit f_{X_1}(x) la densité de X_1
et f_{X_2}(y) la densité de X_2

alors la densité de X_1+X_2
est défini par \large \Bigint_0^{\infty} f_{X_1}(x).f_{X_2}(y-x) dx

je crois(j'ai pas fait les calculs)

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 15:17

Donc la densité de \Large{X_1+X_2} est donnée par \Large{f_{X_1}\ast f_{X_2}} ? D'ou vient ce résultat ?

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 15:19

il est pas dans le cours mais j'ai bouquin ou ça fait partie du cours...je crois qu'on fait la meme chose(convolution avec des sommes pour la loi de Poisson)...

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 15:31

Ok, j'ai vu le résultat ici fonction de densité d'une chi-deux, donné par stokastik. Comme \Large{X_1} et \Large{X_2} sont indépendantes, la densité de \Large{X_1+X_2} est bien \Large{f_{X_1}\ast%20f_{X_2}}. Y'a-t-il une généralisation dans ton bouquin robby ? Par exemple pour déterminer la densité de \Large{S_n} directement, non ?

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 15:40

dans mon bouquin généralement, il convole une fois et aprés font une récurrence...

Posté par
PILre : loi stable 23-06-08 à 16:38

Je m'explique concernant mon post de 13:27. Tu dois calculer le produit de convolution de ton post de 12:19.
Calcul direct : tu décomposes ta fraction en somme de fractions simples que tu intègres; c'est un peu long mais classique, j'ai fait le calcul, réponse : (1/) [2/(x2+4)], ce qui montre que si X et Y sont C(1) et indépendantes, alors X+Y est C(2).
Calcul indirect : j'ai dit "transformation de Fourier", j'aurais pu tout aussi bien dire "fonction caractéristique", c'est (presque) pareil et tu connais ça Robby : on transforme le produit de convolution en produit. Mais c'était une fausse bonne idée, le calcul de la fonction caractéristique se fait par la méthode des résidus ...

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 16:44

Citation :
j'ai dit "transformation de Fourier", j'aurais pu tout aussi bien dire "fonction caractéristique", c'est (presque) pareil et tu connais ça Robby

>ah oui,je vois maintenant ce que tu veux dire...

Citation :
le calcul de la fonction caractéristique se fait par la méthode des résidus ...

> ah oui!! ça sent pas bon les résidus(en plus je maitrise absolument pas du tout)

Citation :
tu décomposes ta fraction en somme de fractions simples que tu intègres

comment tu fais ça dans le cas présent??
c'est la méthode de décomposition en éléments simples?

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 16:55

Euh, je bug sur le calcul du produit de convolution :
\Large{f_{X_1}\ast f_{X_2}(x)=\Bigint_{\mathbb{R}}f_{X_1}(x-y)f_{X_2}(y)dy=\lambda^2\Bigint_{0}^{+\infty}exp(-\lambda x)dy.

Y'a souci la non ?

Posté par
PILre : loi stable 23-06-08 à 17:27

pour Robby : oui !

pour H_aldnoer : c'est bien la fonction à intégrer, mais les limites sont 0 et x, car fX1(x-y) est nulle si x-y<0 donc si y>x.

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 17:27

le soucis c'est les bornes de ton integrale...n'oublie pas  les indicatrices

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 17:31

Ah ouais ok!

Donc on trouve au final que \Large{f_{X_1}\ast%20f_{X_2}(x)=\lambda^2\Bigint_{0}^{x}exp(-\lambda%20x)dy=\lambda^2xexp(-\lambda x)} ?

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 17:36

je décompose \large \frac{1}{1+x^2}=\frac{1/2}{1-ix}+\frac{1/2}{1+ix}

par contre pour l'autre fraction, comment fais t-on??

1+(y-x)^2=0 <=> y=i+x
et ensuite??

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 17:43

Ah ok, donc \Large{X_1+X_2\sim \Gamma(2,\lambda)}. Par récurrence, \Large{S_n\sim \Gamma(n,\lambda)}.

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 17:47

Pour conclure à la première question :

On montre que \Large{S_n\sim%20\Gamma(n,\lambda)} en montrant que \Large{f_{S_n}(x)=\lambda^2xexp(-\lambda x)}.

On montre que si \Large{Y=aX+b} alors \Large{f_Y(y)=\frac{\lambda}{a}exp(\frac{-\lambda(y-b)}{a}).

Ensuite, quelque soit \Large{a,b>0}, on a \Large{\lambda^2xexp(-\lambda x) \neq \frac{\lambda}{a}exp(\frac{-\lambda(y-b)}{a})}.

Donc pas de stabilité pour cette loi, c'est bien ça ?

Posté par
PILre : loi stable 23-06-08 à 17:52

Bravo, H_aldnoer, tu y es !

Robby, c'est plus simple de ne pas introduire les racines complexes et de garder des dénominateurs irréductibles sur R; les éléments simples sont du type (Ax + B)/(x2+1)  et (Cx + D)/((x-y)2+1).

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 17:59

Il fallait lire que \Large{f_{S_n}(x)=\frac{\lambda^n}{(n-1)!}x^{n-1}exp(-\lambda%20x)} plutôt non !

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 18:04

Pour la question 2 :

\Large{S_n\sim\mathcal{N}(nm,n\sigma^2)} et \Large{Y=aX+b\sim\mathcal{N}(am+b,a^2\sigma^2).

Cela revient donc à résoudre le système \Large{\{nm=am+b\\n\sigma^2=a^2\sigma^2} qui admet pour solution \Large{a=\sqrt{n} et \Large{b=m(n-\sqrt{n}).

Donc il y a bien stabilité pour cette loi.
Au final, le 2) permet de répondre au 3) de mon post du 22/06/2008 à 22:58, avec \Large{a_n=\sqrt{n} et \Large{b_n=m(n-\sqrt{n}).

Est-ce correct ?

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 18:12

pour les décompositions en éléments simple, je seche...

et en plus meme en supposant celà, j'arrive pas à conclure pour savoir si la loi de Cauchy est stable ou non?

Posté par
PILre : loi stable 23-06-08 à 20:01

Décomposition en éléments simples :

3$\rm \frac{1}{(x^2+1)((y-x)^2+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(y-x)^2+1}

tu multiplies par le dénominateur de gauche et turegroupes selon les puissances de x; tu obtiens :

   1  =  (B+D)x3 + (A-2By+C)x2 + (-2Ay+B(y2+1)+D)x + A(y2+1)+C;

tu identifies les coefficients, d'où un système linéaire pour A,B,C,D dont les solutions sont

3$\rm A = \frac{1}{y^2+4} B = \frac{2}{y(y^2+4)} C = \frac{3}{y^2+4} D = \frac{-2}{y(y^2+4)}

il te reste à intégrer ...
Pour la stabilité tu remarqueras que si X est C(a) alors (1/a)X est C(1).

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 21:38

ok,merci PIL pour la décomposition...

pour la stabilité, j'ai toujours pas pigé je crois

on a X+Y qui suit une loi ce Cauchy de parametre 2 si X et Y suivent tout deux une loi de Cauchy de parametre 1.

on a f_{X+Y}(x)=\frac{1}{\pi}.\frac{2}{x^2+4}

il faut que je trouve a et b tel que Y=aX+b \sim C(2)

et tu me dis de remarquer que si X\sim C(a) => \frac{1}{a}.X\sim C(1)

est ce que a=2 et b=0 convient??
je suis vraiment pas certain d'avoir compris

Posté par
PILre : loi stable 23-06-08 à 21:58

C'est ça ! X+Y est C(2) et 2X est aussi C(2).

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 22:03

d'accord!!
it's so good!!
parfait!
Merci pour tout PIL, et encore une fois, merci de ta patience(parce que y'en faut beaucoup avec moi )

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 22:17

Vous pensez quoi de mon post de 18:04 ?

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 22:18

Et de celui de 17:59 !

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 22:21

pour 17:59 tu l'a montrer avec n=2.

pour 18:04,c'est ok je pense,j'avais fait à 11:24 un truc du meme genre

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 22:22

Impeccable alors!
(ca va toucher le jackpot :p)

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 22:30

( il vaudrait mieux,parce que vu comment je me met minable pour réviser la proba...vaudrait mieux que ça paye!)

Posté par
H_aldnoerre : loi stable 23-06-08 à 22:37

tiens, un truc pour te faire oublier un peu la proba! Ce gars la il est énorme, il est de chez nous!
Ce délire :
Je ne suis pas à l'euro, spécial dédicace à daniel trezeguet!
Allô Raymond! Mais qu'est-ce que tu fous!
Et celui la énorme : On va s'marrier! Dans un vestiaire à la fin de l'euro!

Posté par
robby3re : loi stable 23-06-08 à 22:43

je connais je connais( il est trés bon!)

bon je te laisse,je vais regarder Grey's anatomy


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