Le vecteur (0;0;1;1) est celui de la colonne 3 pas 4.  Pour la colonne 4 tu dois résoudre le système Av4 = 1v3 + 1v4 soit (A - 1Id)v4 = v3.  Tu connais A et v3, et tu cherches v4.

Ce n'est pas clair pour moi.

Voilà où j'e suis :

Soient e₁, e₂, e₃, e₄ les 4 vecteurs de la base canonique de ⁴.

Si j'ai bien compris j'ai:
f(e₁) = e₁+e₃+e₄
f(e₂) = -e₁-e₃-e₄
f(e₃) = 2e₁+e₂+e₃+e₄
f(e₄) = -2e₁-e₂.

Soit e'₁, e'₂, e'₃, e'₄  la nouvelle base à trouver.

Je sais que  :
f(e'₁) = 0
f(e'₂) = e'₁
f(e'₃) = e'₃
f(e'₄) = e'₃+e'₄

Comment trouver e'₁, e'₂, e'₃, e'₄ ?

Un exemple me suffira ;  e'₄ par exemple.

Merci par avance pour votre aide

svp, merci

Je dois bien poser = pour avoir les coordonnées du premier vecteur de la base ; puis idem pour les vecteurs 2,3 et 4 de la base dans le 2ème membre de l'égalité ??

Je ne comprends pas ; j'arrive à une incompatibilité pour le 3ème vecteur, et pour le 2ème vecteur de la base à trouver, la solution indique  (1;2;1;0) alors que je trouve (1;0;-1;-1) par deux méthodes différentes

merci de m expliquer   svp

1°) Il n'y a pas unicité de la solution : si f(e'_2)=e'_1, on a aussi f(e'_2+1789 e'_1)=e'_1. Mais ce que tu trouves est visiblement faux.
2°) Quelle incompatibilité pour le 3e vecteur ?

Robot, peux-tu alors m"expliquer en quoi c'est faux pour que je comprenne.
Merci

Je ne sais pas où et pourquoi tu t'es trompé. Mais je vois que ton résultat est faux. Vérifie toi-même.
Quel as-tu choisi ?
Est-ce que le que tu as calculé vérifie ?

Bonsoir
un moyen de constituer ta base est de choisir e'2 dans Ker A², et e'4 dans Ker (A-I)²
et ensuite de poser e'1 = Ae'2 et e'3 = (A-I)e'4 : tu auras alors Ae'1 = A²e'2 = O et (A-i)e'3 = (A-I)²e'4 = 0, les colonnes de la matrice seront bien comme tu le souhaites.

Il faut faire attention : n'importe quel non nul de ne convient pas ! La méthode suivie était bonne - encore faut-il mener les calculs sans se tromper.

certes ! j'ai oublié de préciser que e'2 ne doit pas être lui-même dans Ker A, et que e'4 ne doit pas être dans Ker (A-I) !

Merci pour vos interventions.

En fait je n'avais pas fait de choix "a priori' de vecteurs de la base à trouver ; je pensais qu'ils devaient se déduire d'un calcul à partir de la deuxième (ou nouvelle) matrice de f , à savoir celle-ci :
que j'ai ausi nommée A dans mon premier message par un mauvais copier-coller, mais qu'il faut nommer autrement, mettons B.

>> Lafol ; dans ces conditions, si j'ai bien compris, il faut poser /choisir e'2 dans Ker B², et e'4 dans Ker (B-I)²  ? Mais sous réserve que je considère la bonne matrice, peux-tu m'expliquer pourquoi il fait considérer B² pour e'2 ? Je n'ai pas vu de démarche similaire dans le cours ou dans les exercices que j'ai déjà traités. J'ai calculé   , mais alors peux-tu m'expliquer stp comment ce calcul me permet de faire le choix d'une base qui convient.

Sinon la base proposée dans la solution : é'1= (1;1;0;0) ; e'2 = (1;2;1;0) ;  e'3 = (0;0;1;1)  ;  e'4 =(1;0;1;1) permet effectivement d'exprimer f(e'1), f(e'2), f(e'3) et f(e'4)  sous forme de combinaison linéaire des 4 vecteurs de la nouvelle base, mais l'intérêt de l'exercice c'est de savoir comment les trouver, ce que je cherche à comprendre, sachant que cette base de la solution est une base possible parmi d'autres.

Donc merci par avance pour vos explications complémentaires

Pourquoi ne veux-tu pas dire comment tu as fait pour trouver ton , et quel tu as trouvé ? Pourquoi ne veux-tu pas vérifier si le que tu as trouvé satisfait bien ? Comment as-tu fait pour trouver ton ?

Si tu ne réponds pas, comment veux-tu qu'on t'aide ?

Voici le détail de mes calculs :

Pour e'1 : j'ai fait = ,
soit le produit égal à la 1ère colonne de la matrice B (la matrice de f selon la base e'1, e'2, e'3, e'4) à trouver.
J'aboutis au système :
x-y+2z-2t = 0
z-t = 0
x-y+z = 0

ce qui me fait conclure : z=t ; z = 0 ; x-y = 0 ; d'où la solution : les quadruplets du type (x;x;0;0), x ;donc e'1 est un vecteur colinéaire à (1;1;0;0).


Pour e'2 : j'ai fait = ,
soit le produit égal à la 2ème colonne de la matrice B (la matrice de f selon la base e'1, e'2, e'3, e'4) à trouver.
J'aboutis au système :
x-y+2z-2t = 1
z-t = 0
x-y+z = 0

ce qui me fait conclure : z=t ; 1+z = 0 ; x-y = 1 ; d'où la solution : les quadruplets du type (x;x-1;0;0), x ;donc e'1 est un vecteur colinéaire à (1;0;-1;-1), en attribuant la valeur 1 à x par ex.


Pour e'3 : j'ai fait = ,
soit le produit égal à la 3ème colonne de la matrice B (la matrice de f selon la base e'1, e'2, e'3, e'4) à trouver.
J'aboutis au système :
x-y+2z-2t = 0
z-t = 0
x-y+z = 1
x-y+z = 0

et ce sont ces deux dernières lignes qui m'ont conduit à écrire que il y aurait incompatibilité pour le 3ème vecteur....

Donc si ce n'est pas la bonne démarche (et vraisemblablement ça ne l'est pas), svp expliquez-moi le comment faire et le pourquoi de mon erreur.

A la fin de l'exercice il y a une solution type que j'ai mentionnée et vérifiée, mais moi je veux comprendre comment on y aboutit.

Suite au détail de mes calculs, pouvez me dire ce qui ne va pas, et

>> Robot : pourquoi faut-il vérifier que A.e'2 = e'1 ?
>> Lafol si tu as qqs instants, peux-tu répondre à ma question de ce matin 9.00, j'aimerais comprendre la méthode que tu proposes que je n'ai pas vue dans mon cours ni dans les exercices que j'ai déjà traités.

Merci pour le temps que vous  me consacrez, et pour vos explications qui j'espèrent feront jaillir la lumière.

Je vois .... tu embrouilles les deux bases

ce que je te proposais, c'était bien avec la matrice A, et pas avec B
et toi ce que tu calcules, c'est un mélange entre les deux bases !

tu veux une première colonne nulle : là pas de souci, le vecteur nul a pour coordonnées (0,0,0,0) dans toutes les bases, tu ne pouvais pas te tromper

ensuite pour la deuxième colonne ça se gâte : tu veux une deuxième colonne (1,0,0,0), ce qui signifie que f(e'2) = e'1, et pas e1 !

en écrivant tout dans la base canonique, tu dois donc résoudre

>>Lafol : merci pour ces explications. Effectivement si je résous l'équation matricielle que tu indiques je trouve le vecteur de la solution. Mais ce que je ne comprends toujours pas c est pourquoi f(e'2) doit être égal à e'1.
Je crois que quand j aurai compris ça j aurai bien avancé. Donc c est ce point qu' il faut m expliquer svp
Merci par avance.

je crois que je viens de comprendre , B n est pas donnée dans la base canonique, mais dans la base à trouver !! Non?

exactement !

la colonne (1,0,0,0) est dans la base à trouver, donc 1e'1 + 0e'2 + 0e'3 + 0e'4

Bon j'ai tout retrouvé.Merci Lafol. En plus j'avais posé les bonnes équations dans mon message d hier 11h50!
C est clair maintenant!

en plus, oui ...