salut

normal de bloquer ... la deuxième ligne n'est pas compréhensible ...

Erf, je n'ai pas bien retranscrit …
f(P)(X) = P(X+2) + P(X) - 2P(X+1)
C'est mieux ?

Et c'est bien P(X+2) et pas P(X+1) …

mais bon sang au lieu de nous donner des bouts de formule tu es incapable de donner la formule ou expression correctement ?

que vaut f(P) ?

f(P)(X) = P(X+2) + P(X) - 2P(X+1) je l'ai écrit plus haut ?

ben non ...

ça veut dire quoi que f est une application linéaire ?

On peut écrire alors f(x+y) = f(x) + f(y)
F(ax) = af(x) avec une constante

Bonjour à tous, désolé de vous solliciter...

Soit la matrice A :

0 0 2 6
0 0 0 6
0 0 0 0
0 0 0 0

Déterminer Ker (A)

Je comptais appliquer le théorème du rang, cela me donne :

dim (R3) = dim Ker A + rg A
Soit dim Ker A = 3 - 2 = 1
Mais impossible de continuer … un coup de main serait le bienvenu !

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Bonjour,

Pourquoi R3 ?

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L'application linéaire va de R3 dans R3 donc on a bien dim (R3) = 3 ?

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Oui, mais je ne comprends pas alors pourquoi la matrice carrée est de taille 4 ?

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J'ai dès confusion à ce niveau la... pourtant j'avais cru comprendre que si on a une application linéaire qui va de R3 dans R3 sa matrice en base canonique aura 4 lignes et 4 colonnes ?

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et alors est-ce que f vérifie cela ici ?

A mon avis, une application linéaire de ³ dans ³ est représentée par une matrice 3x3 quelque soit la base considérée.

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Bonsoir,
la matrice d'une application linéaire de Kⁿ dans Kⁿ a n lignes et n colonnes.
Le colonnes étant les images des n vecteurs de la base (espace de dimension n) ont chacune n éléments.

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C'est bon j'ai réussi à montrer que c'était un espace vectoriel avec cette définition... merci beaucoup.. mais maintenant un autre problème se pose, je n'arrive pas à déterminer le noyau de la matrice en base canonique !

calcule f(1), f(x), f(x^2) et f(x^3) ...

Bonsoir, mais j'ai oublié de préciser dans mon exercice il s'agit de polynôme !

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C'est fait j'ai obtenu ma matrice, j'ai appliqué le theoreme du rang mais apres je n'arrive pas à aboutir.. j'ai poser le problème dans un autre forum avec la matrice que j'ai obtenu ! Je ne vais pas faire de multi post…

Je vois : l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 est effectivement de dimension 4.
Par exemple X³+X²+X+1 a pour coordonnées (1;1;1;1) dans la base canonique de ₃[X].
Et, dans ce cas, il est clair que dim(ker(f))+rg(f)=4.

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Oui désolé... on a bien rg ( A ) = 2 donc on a dim(ker(f)) = 2 ?

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Oui.
Et essaye de penser avant de confondre ₃[X] et  ³.

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Bonsoir,

Oui. Dans cette transformation, le polynôme

devient qui doit être le polynôme nul si  .  Conclusion...

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Bonjour verdurin

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Salut larrech

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Larrech je vois pas comment tu es passé de la matrice à cette écriture...

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On ne part du théorème du rang alors ?

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Bonjour
le théorème du rang ne te donnera jamais que la dimension du noyau, rien d'autre ! si tu dois déterminer le noyau, il peut être utile d'en connaître la dimension à l'avance, mais ça n'apporte finalement pas grand chose. Il est plus utile de connaître la définition du noyau .... P est dans le noyau ssi son image par ton endomorphisme est le polynôme nul

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Oui je vois pas comment à partir de la matrice que l'on obtient, écrire le polynôme ?

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Il est impossible de répondre à cette question : on connais la matrice que tu donnas, mais on ne sais pas dans quelle base elle est écrite.
Et on ne sais pas si les polynômes sont considérés comme des vecteurs colonnes ou des vecteurs lignes.

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Le polynôme P, dans la base canonique,  est représenté par la matrice colonne

=

est la représentation matricielle du polynôme Q toujours dans la même base.

On peut aussi écrire puisque est linéaire et il ne reste plus qu'à exprimer et

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On peut remarquer que la matrice A est échelonnée suivant les colonnes (en  interchangeant les colonnes).

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C'est manifestement la suite du topic Matrice dans la base canonique définie par des polynômes

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Oui c'est la suite du topic ! Merci beaucoup larrech et scoatarin, je vais essayer de continuer l'exercice, j'ai du travaille sur ce chapitre. Je suis vraiment largué, impossible de trouver ce foutu noyau ! Je travaillerais la correction, merci encore !

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De rien, bonne nuit

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Revoir le post de 19h48.

P appartient au noyau si f(P)=Q est le polynôme nul, donc si c=d=0. Les polynômes du noyau sont par conséquent les polynômes de la forme P=a+bX

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Salut larrech.
En effet je comprend mieux après ton dernier message.

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C'est sûr que sinon, on est dans le brouillard.

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