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Matrice de M2(C)

Posté par
Aygoub
22-09-22 à 15:43

Bonjour
Svo comment je peux montrer que toute matrice de M2(C) est soit semblable à \begin{pmatrix} a1& 0 \\ 0 & a2 \\ \end{pmatrix}

Ou à   \begin{pmatrix} a& 1 \\ 0 & a \\ \end{pmatrix} avec a1,a2,a dans C

Et merci

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice de M2(C) 22-09-22 à 15:48

Bonjour

Connais-tu le polynôme caractéristique? Si oui, regarde les cas possibles pour les racines.

Posté par
Aygoub
re : Matrice de M2(C) 22-09-22 à 16:32

Camélia @ 22-09-2022 à 15:48

Bonjour

Connais-tu le polynôme caractéristique? Si oui, regarde les cas possibles pour les racines.


Si on pose A=\begin{pmatrix} a& b \\ c & d \\ \end{pmatrix} alors son polynome caracteristique est (X-a)(X-d)-bc
Donc ces racines sont les solutions du systeme:
Z1+Z2=ad-bc
Z1Z2=-a-d.
Et apres?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice de M2(C) 22-09-22 à 16:59

Quelles sont les possibilités pour un polynôme complexe de degré 2? Combien de racines peut-il avoir?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice de M2(C) 22-09-22 à 17:18

Je dois partir.
Quelqu'un prendra ma suite.
Regarde ce qui se passe si le polynôme caractéristique a des racines distinctes ou une racine double.

Posté par
carpediem
re : Matrice de M2(C) 22-09-22 à 19:59

salut

en posant s = (a + d)/2 alors

(x - a)(x - d) - bc = (x - s)^2 - (s^2 + bc)

dans C il y a alors deux cas :

Posté par
Aygoub
re : Matrice de M2(C) 23-09-22 à 00:58

J'ai trouvé que si descriminant du polynôme caractéristique est non nul le polynôme caractéristique admet deux racines distinctes a1 et a2 et donc A est semblable à la matrice dont la diagonale contient a1 et a2
Et si il est non nul alors il admet une racine double
Maintenant je bloque au niveau de comment montrer que A est semblable à la mztrice triangulaire

Posté par
GBZM
re : Matrice de M2(C) 23-09-22 à 09:52

Bonjour,
Soit a la valeur propre double. Quelles possibilités a-t-on pour la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre a ? Que se passe-t-il dans chacun des cas ?



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