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Niveau Maths sup
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Matrice inversible et polynôme

Posté par
Skops
04-05-08 à 14:49

Bonjour,

1) Soit 4$A\in M_5(\mathbb{R}) telle que 4$A^3=A^2-2A
A est elle inversible ?

Analyse : Supposons que A soit inversible
Alors 4$A(A^2-A+2I_5)=0

En composant par 4$A^{-1}, j'ai 4$A(\frac{-1}{2}(A-I_5))=I_5

Synthèse : je bloque, je ne vois pas comment tester ma matrice inversible

2) Il y a t'il unicité de la matrice inversible ?

3) Qu'elle est la différence entre diagonalisable et trigonalisable ?

4) La matrice inversible d'une matrice n-ième est elle la matrice inversible n-ième ?

Merci

Skops

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice inversible et polynôme 04-05-08 à 14:55

Bonjour Skops (tu me guettais? )

1) Comme il est clair que la matrice nulle vérifie ton équation, la réponse est NON! A n'est pas forcément inversible!

2) Oui, si une matrice est inversible, l'inverse est unique. Encore plus fort, si M est carrée et s'il existe N telle que MN=I, (ou NM=I) N est nécessairement l'inverse de M.

3) Une matrice diagonalisable est trigonalisable (vu qu'une diagonale est triangulaire) mais la réciproque est fausse.

4) Si par n-ème tu entends la puissance n-ème, la réponse est oui.

Si tu veux des détails, n'hésite pas!

Posté par
Skops
re : Matrice inversible et polynôme 04-05-08 à 14:59

Salut Camélia (c'est vrai que si un problème d'algèbre se pose et que tu es là, je ne m'en fais pas pour la réponse )

1) D'accord
Mais comment j'aurais pu faire pour vérifier que ma matrice inversible est bien la matrice inversible avec mon polynôme ? (là, c'est un mauvais exemple parce que c'est faux ^^ mais j'espère que tu comprends ce que je veux dire)

2) D'accord

3) Donc trigonaliser une matrice, c'est la rendre triangulaire ?

4) Ok (tu entendais quoi d'autre par n-ième ?

Skops

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice inversible et polynôme 04-05-08 à 15:06

1) Voilà un exemple qui marche: Supposons que A3-2A2+A+5I=0. Surtout tu ne supposes rien. Tu remarques que en posant B=\frac{-1}{5}\(A^2-2A+I) on a AB=BA=I, donc A est inversible et B=A-1

3) Trigonaliser (diagonaliser) une matrice A , c'est trouver une matrice inversible P telle que P-1AP soit triangulaire (diagonale). En termes d'endomorphismes c'est trouver une base par rapport à laquelle la matrice est triangulaire (diagonale)

4) J'en sais rien, moi je dis n-ème puissance!

Posté par
Skops
re : Matrice inversible et polynôme 04-05-08 à 15:12

1) Et sans I, c'est possible de trouver une relation polynomiale où A est inversible ?

3) D'accord

4) Ok ^^

Skops

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrice inversible et polynôme 04-05-08 à 15:27

1) Oui, après tout si tu multiplies la relation que j'ai donnée par A ça n'empêchera pas A d'être inversible, mais tu ne pourras plus en être sur! On démontre que si A est inversible il y a un polynôme vérifié par A avec un coefficient non nul devant I.

Dans ton exemple (au début du topic) ton r&isonnement était correct; SI A est inversible, alors tu as calculé son inverse.

Posté par
Skops
re : Matrice inversible et polynôme 04-05-08 à 15:30

Ok, merci

Skops



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