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Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trace)

Posté par
fplanina 28-11-23 à 14:40

Bonjour à tous

Je suis actuellement sur le chapitre géométrie dans le plan avec les nombres complexes, donc j'étudie les rotations, les symétries, les homothéties etc

Alors, je commence à me sentir plutôt à l'aise cependant, j'avoue sur certaines notions, les ressources internet ne sont pas très abondantes. J'ai fais un exercice (que j'ai réussi) mais le corrigé propose des méthodes différentes. Les questions de l'exercice sont simples:

Prouver que l'application s est une symétrie.
Prouver que l'application p est un projecteur.

Bon, j'ai la matrice et je sais S²=I pour le premier , et que S²=S pour le second donc c'est facilement démontrable.Mais le corrigé propose une autre méthode et dit ceci :

(pour la symétrie) Dét(S)=-1 (bon là logique j'ai la propriété) et Tr(S)=0 (là je ne vois pas la propriété, du moins je ne la trouve pas)

(pour le projecteur) Dét(P)=0 et Tr(P)=1 , aucun moyen de trouver cette propriété...

Quelqu'un pourrait m'éclairer s'il vous plaît ?
En vous remerciant d'avance

Posté par
GBZMre : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 28-11-23 à 15:04

Bonjour,
Tu as les matrices 2x2 de s et p ?  Alors tu as immédiatement le déterminant et la trace, n'est-ce pas ?

Tu as aussi le polynôme cactéristique, qui est pour la matrice  S le polynôme X^2-\mathrm{trace}(S)\,X+\det(S)=X^2-1. Les valeurs propres sont -1 et 1, symétrie par rapport à la droite propre associée à la valeur propre 1 parallèlement à la droite propre associée à la valeur propre -1.
Je te laisse voir pour P.

Posté par
fplaninare : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 29-11-23 à 13:39

Pour la symétrie:

Oui j'ai bien fait le lien du coup avec ker(s-Id) et ker(s+id) (avec 1 et -1 valeurs propres).
Et donc vu que c'est matrice carrée, la multiplicité de chacune des valeurs propres est coincée à 1, et donc cela valide la diagonalisation. Du coup la trace sera toujours 0 pour la matrice carrée.
Et le déterminant sera toujours -1.

Pour le projecteur

Les valeurs propres du projecteur sont toujours 0 et 1 donc même raisonnement (pour la multiplicité et la diagonalisation) donc la trace d'une matrice carrée fera toujours 1.
Et le déterminant sera toujours 0.

Alors d'accord, par contre pour les déterminants , je ne trouve pas de  propriétés sur cela...Merci

Posté par
fplaninare : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 29-11-23 à 14:00

PS: pour les matrices carrées 2x2 bien sûr *

Posté par
GBZMre : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 29-11-23 à 14:10

Je ne comprends vraiment pas ta question. Pourrais-tu être plus clair ?
On comprendrait sans doute mieux si tu recopiais les questions de l'exercice.

Posté par
fplaninare : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 29-11-23 à 15:57

Voici l'énoncé

On appelle \beta =(e_{1},e_{2)} la base canonique de R²

Soit p:R²-> R² l'application linéaire définie par sa matrice de base canonique :

P= \begin{pmatrix} -1& 2\\ -1& 2\end{pmatrix}

Soit s l'application linéaire dont l'image d'un vecteur est \vec{u}=(x,y) est :

s(\vec{u})=\begin{pmatrix} \frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y&, \frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y\end{pmatrix}

Question 3) déterminer la matrice S de s dans la base canonique et montrer que s est une symétrie

puis Montrer que p est une projection

La première méthode est simple , je montre S²=I et puis S²=S et c'est terminé
La seconde méthode utilise (d'après le corrigé) le déterminant et la trace. (méthode que je ne saisis pas en totalité)

Le corrigé me dit globalement qu' une matrice symétrie (je ne sais pas comment ont dit) de dimension 2x2 a toujours pour déterminant -1 et a toujours pour trace 0 (ce que j'en déduis) . Et puis pour la matrice projection de dimension 2x2, elle a toujours pour déterminant 0 et pour trace 1.

Ma question est la suivante : qu'est qui justifie dans les déterminants soient toujours égaux à -1 pour la symétrie et à 0 pour la projection ?

Posté par
GBZMre : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 29-11-23 à 16:59

Déjà une remarque : on voit bien sur la matrice P que c'est la matrice de la projection sur la droite dirigée par \begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix} parallèlement à \begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}.
Je répète ce que j'ai déjà dit, la trace de P est 1, son déterminant est 0, donc ses deux valeurs propres sont 0 et 1, ce qui signifie que l'endomorphisme associé est une projection (sur une droite parallèlement à une droite).
On a utilisé : si le déterminant est 0 et la trace 1, alors c'est une projection du plan sur une droite.
Réciproquement si un endomorphisme d'un plan vectoriel est une projection sur une droite, alors ses valeurs propres sont 0 et 1 et donc sa trace (somme des valeurs propres) est 1 et son déterminant (produit des valeurs propres) est 0.

Posté par
GBZMre : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 29-11-23 à 18:50

Je corrige : parallèlement à \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}.

Posté par
fplaninare : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 30-11-23 à 11:47

Merci c'est limpide. T'assures. Je vais faire encore plus d'exercices dessus pour être impeccable sur le sujet. A bientôt peut être !

Posté par
matheux14re : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 30-11-23 à 16:21

Salut, on peut essayer de montrer ceci.

GBZM @ 29-11-2023 à 16:59


..
Réciproquement si un endomorphisme d'un plan vectoriel est une projection sur une droite, alors ses valeurs propres sont 0 et 1 et donc sa trace (somme des valeurs propres) est 1 et son déterminant (produit des valeurs propres) est 0.


1) On montre d'abord que si un endomorphisme est une projection sur une droite alors l'endomorphisme est idempotent, càd que l'application de l'endomorphisme deux fois de suite donne le même résultat que l'application une seule fois. Donc si f est un endomorphisme, alors on a bien f \circ f = f.

2) Soit \lambda une valeur propre de f, et v un vecteur propre associé à cette valeur propre.
Cela signifie que f(v) = \lambda v. (Soit une droite D dans un espace vectoriel V. Une droite dans V est un sous-espace vectoriel de dimension 1, et elle peut être engendré par un vecteur non nul. Si v est un vecteur non nul appartenant à cette droite D, alors tous les vecteurs de D peuvent s'écrire comme \lambda v, où \lambda est un scalaire.)

3) On applique deux fois de suite f, on obtient f(f(v)) = f(f(\lambda v)) = f(\lambda v) = \lambda^2 v.

4) En utilisant l'idempotence de f, on a f(f(v)) = f(v).

5) f(f(v)) = f(v) \Longrightarrow \lambda^2 v = \lambda v.

v est un vecteur non nul, donc on peut diviser l'équation par v. Soit \lambda^2 = \lambda. Donc \lambda = 0 ou \lambda = 1 qui sont les valeurs propres de l'endomorphisme f.

6) La trace d'un endomorphisme est la somme de ses valeurs propres. Dans ce cas la trace de f est de 1.

7) Le déterminant de f est le produit de ses valeurs propres. Dans ce cas le déterminant de f est de 0.

Posté par
GBZMre : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 30-11-23 à 21:39

Si f est la projection du plan sur la droite engendrée par e_1 parallélement à e_2, la matrice de f dans la base (e_1,e_2) est \begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix}. A-t-on besoin d'en faire plus ?

Posté par
matheux14re : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 01-12-23 à 08:37

Ah mais oui

Bonne journée à vous GBZM

Posté par
GBZMre : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 01-12-23 à 09:28

Merci, bonne journée à toi aussi.

Posté par
fplaninare : Matrice orthogonale et de projection (lien avec det et trac 01-12-23 à 15:21

Merci les gars ! Je vais étudier tout cela avec soin Bonne journée.


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