Bonsoir,j'ai essayé de faire cette exo mais je sais pas si ce que j'ai fait est bon.Esceque vous pouvez me le corriger svp
Énonce
Si P ∈ R3[X], et si α ∈ R, on note P(X +α) le polynôme obtenu en remplaçant X par X + α dans l'expression de P .
Autrement dit, si P = a3X3 + a2X2 + a1X + a0, alors
P(X + α) = a3(X + α)3+ a2 (X + α)2 + a1(X + α) + a0.
Soit f : R3[X] −→ R3[X] l'endomorphisme de R3[X] d ́efini par f(P)=P(X+1)−P(X−1)−2P′′(0)X pourtoutP ∈R3[X].
Ecrire la matrice représentative de f dans la base B = (1,X,X2,X3). En d ́eduire une base du noyau et de l'image, ainsi qu'un syst`eme d' ́equations de l'image.
Voici ce que j'ai fait :
Cas P(X)=1donc P′′(X)=0
P(X+1)-P(X-1)-2P′′(0)X
=a3(X+1)2+a2(X+1)2+a1(X+1)+a0-a3(X-1)3-a2(X-1)2-a1(X-1)-a0
=a3[(x+1)3-(X-1)3]+a2[(x+1)2-(X-1)2]+a1[(X+1)-(X-1)]
a3(6X2+2)+4a2X
=2a3+4a2X+6a3X2
Cas P(X)=X
Cas P(X)=X2
2a3+(4a2-4)X+6a3X2
Cas P(X)=X3
Donc P'(X)=3X2
P ′′(X)=6X
=2a3+6a3X2-12X2
=2a3+(6a3-12)X2
Donc Mat(1,X,X2,X3)=
f(1)=2a31+4a2X+6a3X2+0(X3)
f(X)= 2a31+4a2X+6a3X2+0(X3)
f(X2)= 2a31+(4a2-4)X+6a3X2+0(X3)
f(X3)= 2a31+4a2X+(6a3-12)X2+0(X3)
Déjà esceque jusqu'ici c'est bon?
Bonjour,
Je ne comprends pas tes calculs. Si P est le polynôme 1, alors, P(X+1)=P(X-1)=1
Pour le polynôme X, P(X+1)=X+1, etc.
Non c'est pas ça que j'ai fait
Pour le polynôme P(X)=1 j'ai déduit que P''(X)=0 et donc il reste dans mes calculs que P(X+1)-P(X-1)
Et j'ai appliquer la formule P(x+) et developper l'expression
Je sais ça mais après
Après n'esce pas il faut utiliser l'application f défini par
P(X)—-> P(X+1)−P(X−1)−2P′′(0)X
dans mes calculs ?
Un jour j'ai fait en classe un exo où
P(X)——->P'(X)+P(0)X
Ensuite pour déterminer la matrice dans la base canonique de (1,X,X2 )on a calculer que vaut
P(X)=1
P(X)=X
P(X)=X2
Le cas P(X)=1 notre prof a déduit que P'(X)=0 et donc que P'(X)+P(0)X=X
Etc même chose pour les autres
Moi j'ai suivi le même privilège et j'ai appliqué ceci à l'exercice
salut
soit le polynome P(x) = 2x + b
peux-tu calculer P(x + 1) et P(x - 1) ?
soit le polynome P(x) = ax + b
peux-tu calculer P(x + 1) et P(x - 1) ?
soit le polynome P(x) = 0x + b
peux-tu calculer P(x + 1) et P(x - 1) ?
donc tu n'as pas compris ce que dis larrech ... ni même peut-être l'énoncé ...
l'endomorphique f associe à tout polynome P le polynome Q défini par :
f(P)(x) = Q(x) = P(x + 1) + P(x - 1) - 2P"(x)
si P(x) = 1
si P(x) = x
si P(x) = x^2
si P(x) = x^3
alors que vaut Q(x) ?
Pour P(X)=1
Q(X)=1-1-0=2
P(X)=X
Q(X)=X+1-(X-1)-0
Q(X)=0
P(X)=X2[/vert
Q(X)=(X+1)2-(X-1)2-4
Q(X)=X2+2X+1-(X2-2X+1)-4
Q(X)=4X-4=4(X-1)
[vert]P(X)=X3
Q(X)=(X+1)3-(X-1)3-2(6X)
Q(X)=6X2+2-12X
Q(X)= 6X2-12X+2
Bonsoir
bien sûr que si, tu l'as utilisée ! avec alpha = 1 ou -1 selon les cas, et avec les coeff de tes polynômes ! (0,0,0,1) pour P(X)=1 etc
J'ai refait les calculs
P(X)=1 on a Q(C)=2
P(X)=X on a Q(X)=2
P(X)=X2 Q(X)=4X
Q(X)=X3 Q(X)=6X2+2
Donc f(1)=2(1)+0(X)+0(X2)+0X3
f(X)=2(1)+0(X)+0(X2)+0(X)
f(X2)=0(1)+4(X)+0(X2)+0(X3)
f(X3)=2(1)+0(X)+6(X2)+0(X3)
Esce que c'est bon ?
bon ben alors c'est pas bon !!!
et si tu travaillais avec méthode et pour chaque polynome faire comme ici : Matrice/Polynômes
Bonsoir Princesyb,
Il semble que tu n'as pas très bien compris ce qu'est la matrice représentative de cet endomorphisme f exprimée dans la base
Cette matrice est constituée des vecteurs colonnes images par f des vecteurs de la base B exprimés dans la base B.
Tu as donc à déterminer les images par f des vecteurs P(X) = 1, P(X) = X, etc
Pour P(x) = 1 , polynôme constant, P(X) = 1 pour tout X donc P(x+1) = P(x-1) = 1 et P''(X) = 0
Pour, par exemple P(X) = X ^3, que valent P(X+1), P(X-1) , P''(X) ?
Je te laisse continuer.
P(X)=X3
P(X+1)=(X+1)3=X3+3X2+3X+1
P(X-1)3=x3+3X2(-1)+3X(-1)2+(-1)3
=X3-3X2+3X-1
P''(X)=(3X2)'=6X
P(X+1)-P(X-1)-2P'´(X)(0)
=6X2+2?
?
f(1)=0
f(X)=2
Ah ok je vois l'erreur moi je pensais que p'´(X)=0 à chaque fois merci
f(1)=0
f(x)=2
f(x2)=0
f(x3)=6x2+2
Merci
f(1)=(a+b+c+d)-(a+b+c+d)=0
f(x)=[a+b(x+1)+c(x+1)2+d(x+1)3)-[a+b(x-1)+c(x-1)2+d(x-1)3)-2(2cx)
= 2(b+2cx+3dx2+d)-4cx
=2b+4cx+6dx2-4cx+2d
=(2b+2d)+6d2
f(x2)=a+b(x+1)2+c(x+1)4+d(x+1)6-[a+b(x-1)2+c(x-1)4+d(x-1)6-2(2x)
= (4b+8c+12d-4)x+(8c+40d)x3+12dx5
f(x3)=a+b(x+1)3+c(x+1)6+d(x+1)9-[a+b(x-1)3+c(x-1)6+d(x-1)9-0=
=(2b+2d)+12cx+72dx3+40cx3+…(dépasse degré 3)
Esce que c'est comme ça ?
Bonsoir,
En l'absence de larrech:
Tu viens de déterminer la matrice représentative de dans la base
La matrice représentative de dans cette base (avec ) est :
Comment calculer ?
Bonjour à tous,
@princesyb Si j'ai posé la question c'est parce que je me doutais que les choses n'étaient pas très claires pour toi dans cet exercice. Manifestement, je ne m'étais pas trompé.
0n considère l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à , disons, pour fixer les idées, sur le corps des réels, soit , et non l'ensemble des fonctions polynômes de même de degré.
Cet espace est muni d'une base canonique, et tout polynôme de l'ensemble s'exprime comme combinaison linéaire de ceux-là.
En particulier est ici un polynôme et non une valeur donnée à une variable. On pourrait le noter , mais pour simplifier l'écriture (et aussi il est vrai par analogie avec l'aspect "fonction") on le note .
Puis on définit l'endomorphisme .
Si, alors
et on a déjà calculé les transformés par des vecteurs .
On en aussi déduit la matrice qui représente dans la base canonique, et je voulais que tu l' utilises pour calculer comme l'a indiqué lake
bonsoir
Bonsoir,
Je n'approuve pas tes commentaires en totale contradiction avec la "bienveillance" prônée par le site : ** L'ESPRIT ÎLIEN NE DOIT PAS S'ÉTEINDRE ET NE S'ÉTEINDRA PAS *
Un commentaire de mon cru qui me vaudra peut-être la cabane : tu vieillis mal.
Bonjour à tous,
Effectivement...lafol, de tels propos n'ont rien à faire chez nous. Il est urgent de le comprendre.
Ok merci je pense maintenant avoir compris
f(P(X))=a(0)+2b+c(0)+d(6X2+2)
f(P(X))=(2b+2d)+0(X)+6d(X2)+0(X3)
Donc la matrice P dans la base (1,X,X2,X3)est:
L'exercice il restait 2questions
1)Déterminer une base du noyau
(w,x,y,z)Ker(f) alors 2y+2w=0
6w=0
Donc:
=x+z
Calculer une base de l'image
y et w sont les variables liés donc les colonnes 1 et 3 forment une base de Im(f) à savoir
et
Tu fais une encore une confusion. Il faut que tu décantes tout ça calmement, à tête reposée.
La matrice qui représente dans la base est celle que tu avais écrite le 28 à 8h25, soit
Quant à la matrice qui représente dans la même base, c'est la matrice colonne
On l'obtient soit comme tu avais commencé , soit en effectuant le produit
Le polynôme lui-même s'identifie à
En ce qui concerne le noyau et l'image, il faut que tu caractérises les polynômes P qui les constituent.
Je me doutais aussi que c'etait une matrice a une colonne
Merci je comprends mieux
En fait le noyau et l'image que j'ai déterminé c'etait pour la matrice représentative de f dans la base (1,X,X2,X3)
Esce que mes calculs précédents étaient bon ?
On voit ce que tu as voulu faire, mais c'est mal présenté.
Je ne vois pas l'utilité de changer les notations (à moins qu'elles ne te soient imposées par l'énoncé).
1/ Noyau . C'est l'ensemble des polynômes , tels que , donc tels que . Ils sont par conséquent de la forme . C'est un sous ensemble de dimension , dont une base est
2/Image, les vecteurs et (2ème et 3ème colonne de la matrice ) sont indépendants et constituent une base de qui est également de dimension 2, comme on pouvait s'y attendre.
Nota : une autre base est évidemment
Tu as indiqué 2 vecteurs nuls pour cette base , faute de frappe je suppose.
Ok je vois
Ah oui une erreur je voulais dire la colonne 2 et 4 forment une base de Im(f) a savoir la colonne associé à f(X) et f(X3)
Merci infiniment à tous pour votre aide
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