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matrice semblable

Posté par
Zormuche 05-04-19 à 00:13

Bonjour

Comment montrer que la matrice A=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2&2&1 \\ -1 & 2 & -2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}

est semblable à une matrice de la forme B'=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&\cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
________________________________________________


C'est la deuxième question d'un exercice en deux questions, la première consistait à déterminer (a,b) tel que l'endomorphisme représenté par A=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} \\ 2&\frac{2b}{a}&1\\ \\ -\frac{a}{b}&2&-\frac{2a}{b}\\ \\ -2&\frac{b}{a}&2 \\ \end{pmatrix} dans la base canonique soit une isométrie vectorielle, et la solution est |a|=|b|.
La deuxième question suppose que a=b  ce qui donne la matrice A que j'ai donnée au début

Posté par
Zormuchere : matrice semblable 05-04-19 à 00:14

tout ce que je pense pouvoir faire c'est résoudre un gros système en supposant qu'elles sont semblables et en écrivant  A=PB'P^-1
Je n'ai rien trouvé dans mon cours sur les matrices orthogonales et les matrices semblables

Je me suis renseigné ailleurs et j'ai vu des posts qui parlaient de suites d'invariants de similitude, mais nous n'avons jamais étudié ce genre de chose donc pour le moment je ne sais pas quoi faire

Posté par
matheuxmatoure : matrice semblable 05-04-19 à 00:19

bonsoir

si tu sais que c'est une isométrie vectorielle de 3, regarde un peu les invariants...

tu trouveras certainement une droite...

donc cette isométrie est une ...

après il suffit de choisir une base adaptée pour avoir une matrice de cette forme

Posté par
Zormuchere : matrice semblable 05-04-19 à 00:41

Ah oui je n'avais pas pensé à ça, en plus dans l'énoncé ils nous disent que la matrice B représente une rotation vectorielle d'axe ker(f-idE)...

Soit (x,y,z) un invariant

\left{\begin{array}{ccc} 2x+2y+z=x \\ -x+2y-2z=z \\ -2x+y+2z=z \end{array}\right.

Posté par
Zormuchere : matrice semblable 05-04-19 à 00:54

oups j'ai envoyé trop tôt sans faire exprès (en plus y'a des erreurs)


je ne vais pas détailler le calcul mais je trouve bien x=y=z
Donc c'est une isométrie qui a pour invariant la droite x=y=z, donc c'est une rotation vectorielle d'axe la droite ker(f-idE)

Or B' est aussi une rotation vectorielle d'axe la droite ker(f-idE)
-- Comment on le sait ? Je me suis trompé quand j'ai dit que l'énoncé le donnait

Donc A et B' sont semblables


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