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matrice symétrique et antisymatrique

Posté par
benjji 16-01-12 à 20:13

Bonjour,

J'ai prouvé que Sn() et An() sont supplémentaire orthogonnaux dans Mn()

On me demande a présent de déterminer une base de Sn() et de An() puis de déterminer la projection orthogonale sur Sn(). Je n'ai aucune idée, comment puis je m'y prendre.


Merci à tous

Posté par
Bachstelzere : matrice symétrique et antisymatrique 16-01-12 à 21:49

Bonjour

Une base de S_n(\mathbb{R}) est la famille des matrices avec des zéros partout et un 1 sur la diagonale ou deux 1 symétriques. Par exemple pour
S_2(\mahbb{R}), toute matrice de S_2(\mathbb{R}) est de la forme \begin{pmatrix}b & a\\a & c\end{pmatrix}, et une base est :

{ \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix} }

C'est une famille libre et toute matrice de S_2{\mathbb{R}) est combinaison linéaire des trois (à montrer).

Posté par
Bachstelzere : matrice symétrique et antisymatrique 16-01-12 à 21:51

Pardon, c'est { \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} }.

Posté par
veledare : matrice symétrique et antisymatrique 16-01-12 à 21:57

bonsoir,oui c'est mieux,j'allais réagir

Posté par
DHilbertre : matrice symétrique et antisymatrique 16-01-12 à 22:03

@Bachstelze : Dans le cas particulier que tu considères, ne serait-ce pas plutôt

\begin{pmatrix}0 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & 0\\\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix}. En effet, l'on a par exemple E_{1,\,2}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}, de sorte que E_{1,\,2}^t=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}, d'où S_{1,2}=\dfrac{E_{1,\,2}+E_{1,\,2}^t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & 0\\\end{pmatrix}.

A +

Posté par
DHilbertre : matrice symétrique et antisymatrique 16-01-12 à 22:16

Bien entendu, toujours dans ce cas très particulier, le sous-espace A_2(\R) est engendré par la matrice A_{1,2}=\dfrac{E_{1,\,2}-E_{1,\,2}^t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{1}{2}\\-\frac{1}{2} & 0\\\end{pmatrix}.

A +

Posté par
veledare : matrice symétrique et antisymatrique 16-01-12 à 22:27

>>D'Hilbert
je ne comprends pas le pourquoi de ton 1/2?
a b
b c
peut s'écrire aE_{11}+b({E_{12}+E_{21})+cE_{22}

0-b
b 0
peut s'écrireb(E_{21}-E_{12})

Posté par
Camélia Correcteurre : matrice symétrique et antisymatrique 17-01-12 à 16:10

Bonjour

Moi je ne sais pas que veux dire "orthogonaux" dans un espace de matrices!

Posté par
Jukilore : matrice symétrique et antisymatrique 18-01-12 à 17:27

Bonjour.

Oui, une base de Sn(R) est bien la famille de matrices (Ei,j+Ej,i)ij...
Certes elle n'est pas orthonormée mais on ne nous demande pas une telle base de toute façon, donc ça fonctionne.
De la même manière, une base de An(R) est la famille (Ei,j-Ej,i)i<j.
Ensuite, pour ta projection orthogonale (notons la P) :
Tu sais que pour toute matrice M de Mn(R),
P(A) Sn(R)
Or tu peux écrire A = A-P(A) + P(A)
Puisque An(R) et Sn(R) sont deux supplémentaires orthogonaux, tu sais donc que A-P(A) est antisymétrique.
En utilisant les définitions de matrices symétriques et antisymétriques, tu obtiens l'expression de P(A).

Posté par
Camélia Correcteurre : matrice symétrique et antisymatrique 18-01-12 à 17:30

Oui, sans doute, mais moi je ne comprends toujours pas de quelmle orthogonalité on parle!

Posté par
Jukilore : matrice symétrique et antisymatrique 18-01-12 à 17:35

Je suppose qu'il s'agit de l'orthogonalité liée au produit scalaire défini par :
(M,N)Mn(R)²,(M|N)=tr(tMN)...

Posté par
Camélia Correcteurre : matrice symétrique et antisymatrique 18-01-12 à 17:42

Oui, on peut toujours le supposer... mais j'aurais aimé un énoncé clair!


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