Bonjour

As-tu d'autres hypothèses sur A?
Parce que sinon I^2=I et I^3=I mais 2 n'est pas pour autant égal à 3

Fractal

Bonjour,

tu peux écrire c'est tout.

A oui, c'est vrai, je n'avais pas pensé à ça.

Voilà, en fait, on sait que A est une matrice cyclique, c'est-à-dire qu'elle est à coefficients entiers relatifs et qu'il existe k* vérifiant A^k = I.
E est l'ensemble des matrices cycliques.
A est une matrice cyclique et on note U(A) l'ensemble des éléments h de * tels que A^h = I.
Il s'agit de montrer que U(A) est l'ensemble des multiples d'un entier strictement positif noté h₀(A).

J'ai dit que comme A était cyclique, il existait un h₀(A) tel que: A^h₀(A) = I avec h₀(A)*.
Puis j'ai dit que si h était un multiple de h₀(A), alors h = m h₀(A) avec m* et on a bien A^h = A^mh₀(A) = I^m = I
Donc si h est un multiple de h₀(A), h appartient à U(A).
Ainsi, les multiples de h₀(A) sont bien des éléments de U(A)

Jusque là, je pense que c'est juste.
Mais il me manque la suite, je ne sais pas trop comment m'y prendre. Il sagirait de montrer que les éléments de U(A) sont nécessairement des multiples de _h0(A), pourriez-vous m'aider svp?

Merci d'avance

Ok en fait si tu as déja manipulé un peu les groupes et la notion d'ordre ça devrait te venir à l'esprit. On sait qu'il existe un certain h_0 qui vérifie cela comme tu l'as dit donc on peut considérer l'ensemble des entiers vérifiant A^n=Id.

Si cet ensemble est l'ensemble des multiples d'un certain entier, quel entier est le bon candidat pour cela?

ce serait h₀(A), mais je ne vois pas trop où tu veux en venir et comment y arriver ... peux-tu m'expliquer stp?

Bien qu'appelles tu h_0(A)?

On sait qu'il existe un h_0 tel que A^(h_0)=Id.

Si tu te rappelles de la preuve du fait que les sous-groupes de Z sont les nZ ça doit te rappeler quelque chose.

Est-ce qu'on peut dire que c'est le plus petit élément de U(A) ?

a oui, effectivement, je ne pensais plus à cette preuve

Oui comme l'ensemble des entiers vérifiant A^n=Id est non vide, on peut considérer le plus petit, maintenant essaie de montrer qu'un entier qui vérifie A^n=Id est multiple de cet élément.

ok, c'est fait, merci beaucoup.

J'ai une autre question:
On a A une matrice cyclique de coefficients a,b,c,d ( matrice de taille 2 x 2 ) : 1ère colonne: a,b ; 2e colonne: c,d.
étant valeur propre de A, réelle ou non, calculer ||.

Merci d'avance

Ecris la définition d'une valeur propre.

est valeur propre de A il existe XM_2,1(K)\{0} tel que AX = X
Mais à la suite des équivalences, j'arrive à = a-b et - = c-d et je ne vois pas trop quoi en faire ...

En fait essaie plutôt d'utiliser le fait qu'il existe h tel que A^h=Id, itère la relation AX=lambda X.

je ne vois pas trop comment m'en sortir avec cette relation ....

Que vaut A^h X ?

Ca vaut X.

Oui et d'autre part ca vaut quoi(en exprimant avec lambda)?

(1/)AX ...

En fait dans la relation AX=lambda X appliques A des deux côtés h fois

Ca vaut A^h-1X ...

Que vaut

A²X

Oui mais si tu utilise la linéarité tu peux lui donner une autre expression.

A part AX, je ne vois pas trop ...

Oui et AX vaut donc finalement etc..

A ok, donc A^h X = ^h X , mais quelle indication cela nous donne-t-il sur la valeur absolue de ?

A d'accord, on a donc X = ^h X, donc ^h = 1, et ||=1

Bien d'un autre coté A^h X=X donc

Oui

ok merci.

Mais après, on doit en déduire que a+d ne peut prendre que 5 valeurs au plus, et les écrire ... je ne vois pas comment en déduire ça

a+d est la trace de la matrice, et on sait aussi que c'est la somme des valeurs propres, chacune étant répétée un nombre de fois égal à sa multiplicité, mais je ne vois pas comment montrer qu'il y a 5 valeurs à partir de là ...
Pouvez-vous m'aider svp?

je crois en avoir trouvé 3, a+d = 2,-2 ou 0, mais je ne vois pas les 2 autres, pourriez-vous m'aider svp?

Pour voir combien de valeurs prend la trace, regarde quelles sont les valeurs propres possibles, la trace est alors la somme de ses valeurs propres.

On sait qu'une valeur propre est de module 1 donc est de la forme e^(ia).

Soit elle est réelle et alors a=0 ou pi, soit elle est complexe et alors l'autre valeur propre est sa conjuguée car le polynome caractéristique est à coefficients réels.

Ah oui, c'est vrai, j'ai oublié que les valeurs étaient complexes, merci beaucoup.
Mais on ne peut donc pas dtéreminer le a?

Est-ce qu'on trouve finalement:
a+d = 2 e^ia, ou e^ia+e^-ia, ou 2, ou -2, ou 0?

  Justement si on peut déterminer le a car la trace prend des valeurs entières.

Ok, donc on trouve a+d = 1 ou -1 ou 2 ou -2 ou 0 , c'est ça?

Oui e^ia+e^(-ia)=2cos(a) et cos(a) vaut donc -1,-1/2,0,1/2 ou 1 ce qui donne  comme valeurs possibles -2,-1,0,1 ou 2 et il faut dire qu'on a la même chose si on une valeur réelle vu que c'est soit 1 ou -1 donc pour somme cela donne -2,2 ou 0.

Merci beaucoup.
Cela m'a permis de bien avancer.

Mais une autre question me pose un problème:
A=(a,b,c,d) avec a,b pour la 1^ere colonne et c,d, pour la 2^e colonne, désigne une matrice cyclique dont la valeur propre double est notée .
On suppose: =1.
Montrer qu'il existe une matrice inversible P, à coefficients réels, dont l'inverse est noté P^-1, et un réel t, tels que:
A=PTP^-1 où T = (1,0,t,1) avec 1,0 en 1^ere colonne, et t,1 en 2^e colonne

Merci d'avance

Le polynôme caractéristique est donc (X-1)² et est scindé sur R, tu n'as pas un théorème de trigonalisation dans ce cas?

Enfin ici on doit pouvoir faire ça à la main, soit e1 un vecteur propre associé à la valeur propre 1, complètes par e2 pour avoir une base dans laquelle ta matrice est de la bonne forme(il suffit de bien normaliser pour avoir un 1).

D'ailleurs cela me semble bizarre, si ta matrice est cyclique elle possède un polynôme annulateur de la forme X^h-1 et donc si h>=2, comme par Cayley Hamilton le polynome caractéristique est aussi annulateur on devrait avoir (X-1)² qui divise X^h-1, c'est pas trop possible.

C'est bon, merci, j'ai réussi à le montrer.

Sinon, j'aurais une autre petite question, à laquelle je suis bloquée.

A est une matrice cyclique, comme définie précédemment, dont la valeur propre double est notée . On suppose =1.
J'ai montré qu'il existait une matrice inversible P, à coefficients réels, dont l'inverse est notée P^-1, et un réel t, tels que:
A = PTP^-1 où T = (1,0,t,1) avec 1,0 en 1ere colonne et t,1 en 2nde colonne.
J'ai calculé, comme demandé, T^h où h*, et j'ai obtenu:
T^h = (1,0,ht,1) avec 1,0 en 1ere colonne et ht,1 en 2e colonne.

Mais je suis bloqué sur la question suivante;
Si t0, peut-on avoir T^h=I?
En déduire la matrice A. Quelle est la valeur de h₀(A)?

Ce qui me gêne est le fait que, d'un côté, on ne pourra jamais avoir de 0 à la place de ht, car h et t sont différent de 0, donc on obtiendra jamais la matrice identité.
Mais d'un autre côté, si h U(A), alors on a A^h=I et on peut montrer par récurrence que A^h = PT^hP^-1 ... donc on obtient PT^hP-1=I T^hP^-1=P^-1 T^h=P^-1P T^h = I ... donc on peut obtenir la matrice identité ...
2 méthodes qui me semblent juste et qui ne donnent pas le même résultat ...

Pourriez-vous m'aider svp pour cette question et la suivante?
Merci d'avance

Oui on peut obtenir T^h=Id il n'y a pas de contradiction il faut juste que t soit nul et donc que T=Id et ainsi A=Id également.

En fait c'est ce que j'avais remarqué au-dessus si h>=2, si tu as vu les polynômes annulateurs ceci impliquerait que (X-1)² divise X^h-1 ce qui est impossible.

ok, mais en fait, dans la question, on suppose t 0 ... c'est là que je ne comprends pas ...

Oui si t est non nul, c'est impossible que T^h=Id donc c'est impossible que A soit cyclique et possède 1 comme valeur propre double. Conclusion si A possède 1 comme vp double et est cyclique alors A=Id eth0(A)=1.

A ok, merci, je comprends mieux le raisonnement tenu. Merci beaucoup Cauchy.

De rien, si il y a une suite n'hésite pas à poster je reviens dans 1h

En effet, j'aurais besoin de tn aide sur une autre question stp:
A est une matrice cyclique admettant 2 valeurs propres réelles et distinctes

J'ai montré que dans ce cas, on avait a+d=0 et ad-bc= -1 ( ce qu'il fallait démontrer)
Bien sûr, on a toujours A = (a,b,c,d) avec a,b en 1ere colonne et c,d en 2e colonne
J'ai également montré que A était diagonalisable sur .
Mais je suis coincé ici:
Montrer que, réciproquement, toute matrice (22) à coefficients dans vérifiant a+d = 0 et ad-bc = -1 est une matrice cyclique admettant 2 valeurs propres réelles et distinctes.

Peux-tu m'aider stp?