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Matrices
Bonjour,
Voici un exercice que mon professeur de Maths m'a donné sans correction. Or, je n'arrive pas à faire l'exercice...
Exercice :
Soient les matrices A=(-2 -1 2) et P= (1 0 0) de M3(
)
(-15 -6 11) (1 3 0)
(-14 -6 11) (2 2 1)
1) a) Démontrer que la matrice P est inversible et calculer son inverse P-1.
1) b) Calculer la matrice T=P-1AP. Que constate-t-on?
1) c) Exprimer A en fonction de P, P-1 et T.
1) d) Démontrer que pour tout entier naturel n, An=PTnP-1
Pourquoi je n'arrive pas à faire l'exercice?
1) a) . D'abord, je ne sais pas comment démontrer qu'une matrice 3x3 est inversible. (Pour une matrice 2x2 on fait ad-bc
0 alors inversible)
. Ensuite pour calculer son inverse P-1, je suppose qu'il faut utiliser la méthode du pivot de Gauss (je ne suis pas sûr puisque je n'arrive pas à le faire même si en cours nous avons vu cette méthode)
1) b) .Puisque je n'ai pas P-1 je ne peux pas calculer la matrice T=P-1AP.
.Du coup je ne sais pas ce que l'on constate...
1) c) Ici, je ne sais pas comment on fait mais j'ai une supposition :
on utilise la question précédente avec la matrice T=P-1AP.
ensuite: PT=PP-1AP
de plus: PTP-1=APP-1
Du coup: A= PTP-1
Voilà, ce n'est qu'une supposition... De plus faut-il le calculer ?
1)d) je sais qu'il faut utiliser la démonstration par récurrence mais je toujours du mal avec l'initialisation par rapport à la mise en page (quoi calculer d'abord avec n=0)
De plus, je n'ai pas reussi l'hérédité. Je n'arrive pas à remarquer quelques choses qui m'aiderai à avancer dans le calcule du début.
Bonjour
pour la 1, c'est bien la methode du pivot qui te donnera P-1 et du coup tu démontres que P est inversible.
Bonjour,
justement j'ai du mal à utiliser cette méthode car on l'a utilisée seulement 2-3 fois. Pouvez-vous m'aider ?
ok
tu écris à gauche la matrice P et à droite la matrice identité
pour avoir un 0 sur la 3ème ligne colonne 1, tu remplaces L3 par L3 - L2 -L1 . Tu fais pareil pour la matrice identité
pour avoir un 0 sur la 2ème ligne colonne 1, tu remplaces L2 par L2 -L1 . Tu fais pareil pour la matrice identité
pour avoir un 0 sur la 3ème ligne colonne 2, tu remplaces L3 par L3 +1/3 L2 . Tu fais pareil pour la matrice identité
pour avoir un 1 sur la 2ème ligne colonne 2, tu remplaces L2 par 1/3 L2 . Tu fais pareil pour la matrice identité
Comme tu es arrivé à former la matrice identité, c'est que P est inversible, et P-1 est la matrice que tu vois à gauche.
Par précaution, tu calcules P*P-1 pour vérifier que tu obtiens I.
Ta 1c est correcte. Tu n'as pas à calculer, mais tu peux le faire (sur ta calculatrice ou à la main) pour vérifier!
1) a) Du coup pour la matrice inverse j'ai :
P-1=(1 0 0)
(-1/3 1/3 0)
(-4/3 -2/3 1)
1) b) T = (1 1 2)
(0 1 3)
(0 0 1)
mais je ne constate rien... Que faut-il constater?
1) c) du coup j'ai la réponse au dessus.
1) d) Pouvez-vous m'aider car pour l'initialisation le professeur me reproche souvent le fait que je ne calcule pas dans l'ordre ( que la mise en page n'est pas correcte)
Pour l'hérédité par contre je n'ai aucune idée de comment faire pour cette consigne ...
1b Il faut calculer P-1.A.P (que tu appelleras ensuite T) . Le résultat est simple. Fais le à la calculatrice ou a la main.
justement c'est ce que j'ai fait et j'ai trouvé:
T = (1 1 2)
(0 1 3)
(0 0 1)
mais c'est juste que je ne constate rien. Or il y a une question pour 1)b) : Que constate-t-on?
Est-ce que vous vous constatez quelques choses?
Ton calcul est juste. A mon avis, tel que les questions s'enchainent, tu devrais avoir T matrice diagonale, d'où les matrices Tn faciles à calculer.
Sans doute une erreur d'énoncé, soit du prof, soit de toi.
Bonjour à tous les deux.
Je pense qu'il faut constater que la matrice est triangulaire supérieure.
La suite de l'exercice le démontre.
@jeanseb: la suite de l'exercice se trouve ici 
Matrices 1
OK! Vu le niveau débutant de Alex sur le pivot, je ne pensais pas qu'on s'attaquait déja à une triangulation.
Merci perroquet.
C'est clair avec la suite de l'énoncé!
merci beaucoup pour vote aide @perroquet et @jeanseb !! 
du coup pouvez-vous m'aider pour la démonstration par récurrence de la question 1)d)?
Normalement tu ne dois pas faire du multi post, c'est dans la charte du forum.
Et comme tu ne m'as pas donné l'énoncé complet, j'ai cherché une erreur alors que la suite de l'énoncé est claire pour moi qu'il s'agit d'une matrice triangulaire pour T.
pour n= 0, A0 =I de même pour T0. Tu dois pouvoir démontrer l'égalité.
pour l'hérédité,
An= P Tn P-1 est l'hypothese de récurrence
Tu calcules An+1= An. A et tu utilises l'hypothese de récurrence et le 1c.
désolé mais mon professeur a donné cette exercice et l'autre sur 2 feuilles différentes du coup j'ai cru que c'était 2 exercices diffrentes mais avec la même matrice A et P 
j'ai un petit problème monsieur, voici ce que j'ai fait:
Initialisation : ( j'ai réussi)
Hérédité: (j'ai un problème)
supposons : An=PTnA-1
démontrons: An+1=PTn+1A-1
faisons- le:
An=PTnA-1
An x A1=PTnA-1 x PTP-1
je n'arrive pas à faire la suite du calcule... Pouvez-vous m'aider?
supposons : An=PTnA-1
démontrons: An+1=PTn+1A-1
faisons- le:
An=PTnA-1
An x A1=PTnA-1 x PTP-1
Une petite étourderie dans ce que tu as écrit. Voici comment rectifier.
supposons : An=PTnP-1
démontrons: An+1=PTn+1P-1
faisons- le:
An=PTnP-1
An x A1=PTnP-1 x PTP-1
Et tu ne devrais pas avoir du mal à terminer.
Du coup je peux rassembler est écrire :
An=PTn+1P-1 (Je dois rajouter une étape intermédiaire ou pas ?)
De plus, vu que je n'ai pas le droit au multi-post mais que je l'ai fait sans faire exprès, je fais comment pour que quelque m'aide pour les questions dans « Matrice 1 » ? Je fais copier/coller ici? J'attends sur l'autre page? (Parce que plus personne ne me répond sur Matrice 1)
Bonjour
tu aurais pu dès le début remarquer que P aussi, est triangulaire, et puisque sur sa diagonale il n'y a pas de zéro, elle est inversible. (ses trois colonnes forment une famille échelonnée par rapport à la base canonique, donc une base, donc P est une matrice de passage, donc est inversible).
ça te permet de répondre aux questions dans l'ordre où elles sont posées....
An=PTnP-1 x PTP-1
An=PTnI3TP-1
An=PTnxTP-1
An=PTn+1P-1
Est-ce correcte? Merci beaucoup pour votre aide @perroquet !
et encore désolé pour le multi-post...
Il faudra que tu te mettes à LaTeX pour écrire tes matrices
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