Si l'on considère M'=P^-1MP. M' est la matrice d'un endomorphisme exprimé dans la base B', pareil pour M mais dans la base B. P et P^-1 sont deux matrices inversibles.

Soit X' un vecteur exprimé dans la base B' :

M'X'=P^-1MPX'

Or PX'=X où X est le même vecteur exprimé dans la base B

Donc M'X'=P^-1(MX)

Soit, pour tout vecteur X exprimé dans la base B : (MX)=P(M'X')

En passant en vecteurs, en notant f et f' les endomorphismes associés à M et M', alors :
f(x)=f'(x), pour tout x. Donc f=f'.

Est-ce une démonstration satisfaisante ?

Merci.

Salut William

C'est pas la définition detre semblable?

Salut gui_tou.

Je trouverais pas ça étonnant que pour certains ce soit la définition. Mais pour moi, deux matrices M, M' sont semblables si et seulement s'il existe une matrice P inversible telle que :
M'=P^-1MP

Avec cette définition, il ne paraît pas évident que seules les matrices d'un même endomorphisme sont semblables. (mais on s'en doute, je suis d'accord)

Oui c'est trivial en fait

Ce qui est trivial c'est que si deux matrices représentent le même endomorphisme, mais dans des bases différentes, alors elles sont semblables.

La réciproque ne me semble pas si triviale...

Ba si, tu construis les deux bases grâce à partir de la matrice P, non?

J'aimerais que tu me montres stp, si ce n'est pas trop demander.

Bonjour

Tu as tout écrit dans ton message de 14:59. Tu appelles l'application linéaire dont est la matrice par rapport à la base canonique. Donc correspond à . Ensuite la manip que tu as écrite montre que est la matrice de dans la base dont les vecteurs colonne sont les colonnes de (ou de , je ne sais jamais...)

ça y est tu es en vacances william?