Bonjour

Non

et

ont même polynôme minimal et même polynôme caractéristique, mais elles ne sont pas semblables.

le raisonnement que tu as utiliser pour trouver rapidement le contre exemple est lequel ?

Je suis vieille et je connais la fin du film!

Néanmoins, si tu as fait quelques triangulations tu as du voir que ce genre de situation se présentait. Il suffit de bien regarder les matrices nilpotentes.

enfaite ma question est lorsque on est dans R², il y a toujours des contres exemples pour les polynômes minimaux ?

oui j'ai compris la méthode si on peut appeler ça une méthode ^^

j'ai mon contre exemple dans R², la matrice nulle est la matrice nulle partout sauf avec un 1 en haut à droite merci camélia

Ah, alors il faut poser la bonne question!

Dans le résultat est vrai.

oui mon contre exemple est faux (n'importe quoi) comment on le montre ?

La matrice nulle a pour polynôme minimal et c'est la seule! la matrice avec un 1 en haut à droite a pour polynôme minimal

Si le polynôme minimal est de degré 1, la matrice est une homothétie. S'il est de degré 2, le polynôme minimal est égal au polynôme caractéristique. Or . A partir de là on y arrive en discutant sur l'espèce des racines!

si le polynôme minimal est de degré 2 le polynôme caractéristique n'est pas forcement égale par exemple si on le prend à une constante non nul près.

Si tu veux, en général on les prend unitaires.

je dis que des conneries ^^ dsl c'est faux ça aussi

Mais que dire lorsque le polynôme minimal est de degré 2 et irréductible?

Ou tu passes par les complexes, ou tu fais apparaitre une rotation.

je sais pas faire ce genre de chose ... peut tu m'expliquer s'il te plait ?

La matrice est diagonalisable dans avec des valeurs propres conjuguées.

Autre possibilité quand le polynôme minimal de est sans racine réelle : prendre un vecteur non nul, montrer que est une base et regarder la matrice obtenue par changement de base.
(salut Camelia)

Salut GaBuZoMeu

bonjours gabuzomeu j'avais fais ta méthode en utilisant caylay hamilton

Je ne comprends pas l'utilisation de Cayley-Hamilton.
Pas besoin de ça dans ce que je propose.

ba pour exprimer Au dans la nouvelle base je me suis servi de du polynôme minimal qui annule la matrice (oui c'est vrai Cayley Hamilton c'est pour le polynôme caractéristique)

Cayley-Hamilton n'avait donc rien à faire dans l'histoire. Et effectivement la matrice est entièrement déterminée par le polynôme minimal (en termes savants, c'est la matrice compagnon du polynôme minimal).