Bonjour,
c'est facile de trouver P pour passer de A à B.
Ensuite, il suffit de montrer que A n'est pas semblable à C et c'est fini (parce que la similitude est une relation d'équivalence)

A^2=0
C^2=A non nul

Si A et C étaient semblables, alors
C^2=P^(-1)A^2P=0 ce qui n'est visiblement pas le cas.
a+

Bonjour
Pour montrer qu'elles ne sont pas semblables à C vous donnez un bon argument, rarement utilisable. Le mieux est de remarquer que A et B sont de rang 1 et que C est de rang 2.
Votre définition de "semblable" est juste, mais peu utilisable. En fait deux matrices sont semblables si elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes. Soit (e₁, e₂, e₃) la base canonique et soit u l'application linéaire définie par A par rapport à cette base. Alors u(e₁)=u(e₂)=0 et u(e₃)=e₁.
Prenons pour nouvelle base (e₁,e₃,e₂). Vérifiez que la matrice de u par rapport à cette base est bien B.

Merci à vous deux pour votre aide.
Donc pour montrer que A et B sont semblables, je dis que :
A est la matrice d'une application linéaire u dans une base (e1,e2,e3).
A=Mat(u,((e1,e2,e3))
avec u(e1)=0, u(e2)=0, u(e3)=e1.
B=Mat(u,((e1',e2',e3'))
u(e1')=u(e1)=0
u(e2')=u(e3)=e1
u(e3')=u(e2)=0.
Donc A et B sont semblables.
J'espère que c'est ca

mais bon après une nuit de réflexion je pense que j'ai écrit des bétises

Bonjour
C'est presque ça. Avec vos notations: u(e2')=u(e3)=e1=e'1. Il faut que ça soit clair que B va de la base avec des prime vers elle-même.

Bonjour
Alors en résumé, ca me donne :
A est la matrice d'une application linéaire u dans une base (e1,e2,e3).
A=Mat(u,((e1,e2,e3))
avec u(e1)=0, u(e2)=0, u(e3)=e1.
B=Mat(u,((e1',e2',e3'))
u(e1')=u(e1)=0
u(e2')=u(e3)=e1=e1'
u(e3')=u(e2)=0.
Ces deux matrices ont le même rang, elles sont semblables.
Je crois que je tiens le bon bout

Attention, ce n'est pas parcequ'elles ont le même rang qu'elles sont semblables (c'est nécessaire, mais pas suffisant) c'est bien parcequ'elles représentent la même application linéaire.

Oui je sais mais je me suis mal exprimé
Mais pour rédiger mon exercice je dois le mettre quand même ou pas?
Ou le reste de la démonstration convient?
A savoir :
A est la matrice d'une application linéaire u dans une base (e1,e2,e3).
A=Mat(u,((e1,e2,e3))
avec u(e1)=0, u(e2)=0, u(e3)=e1.
B=Mat(u,((e1',e2',e3'))
u(e1')=u(e1)=0
u(e2')=u(e3)=e1=e1'
u(e3')=u(e2)=0.
Les matrices A et B représentent la même application linéaire, elles sont donc semblables.
Merci

Absolument, ça va!
A titre d'entrainement; maintenant que vous avez la nouvelle base, essayez quand même d'écrire P (la fameuse P de la définition de "semblable")

Bonsoir,
En cherchant des informations sur les matrices semblables je suis tombée sur ce sujet et je ne comprends pas pourquoi nécessairement e1=e1'.J'ai peut-être loupé quelquechose...merci de votre aide

S'il vous plaît est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la démonstration qu'il faut faire entre les deux bases pour montrer qu'elles sont semblables et pourquoi e1=e1'?

Bonjour

Pour montrer que deux matrices sont semblables il faut montrer qu'elles représentent la même application linéaire.

Ici: Si on note u l'application linéaire dont la matrice par rapport à la base canonique est A, on a



Si on prend pour nouvelle base on voit que



La matrice de u par rapport à cette nouvelle base est B.

Il n'y a pas de choix unique, on peut choisir les bases comme on veut...

Ah d'accord on prend un peu ce qui nous arrange...
Mais ce que je trouve bizarre c'est qu'au final on arrive à la même base car
(e1,e2,e3)=(e1,e3,e2) non?

Certainement pas! La preuve en est que la matrice n'est pas la même.

Une base est une famille ordonnée de vecteurs!

D'accord merci beaucoup!
Mais alors on peut faire cette méthode que parcequ'on veut montrer qu'elles sont semblables? On ne peut pas s'en servir pour savoir si elles sont semblables?

Il y a des tas de cas où on peut voir d'emblée qu'elles ne sont pas semblables! (pas le même rang, une nilpotente et pas l'autre, idempotentes pas du même ordre...)

D'accord et que veut dire nilpotente? svp

Ah que la diagonale est nulles c'est ça ?

M nilpotente k tel que M^k=0.

Mais ne te lance pas au hasard dans de telles vérifications...

Oui oui mais c'était juste pour savoir!
Merci pour ces indications...

Bonjour Camelia, j'aimerais avoir ton avis sur une réflexion que je me suis fait en lisant ton explication :
Si tu prends comme matrices 3*3 les matrices suivantes (je viens de m'inscrire donc les codes sont nouveaux pour moi, j'ai fais au mieux)





On inverse donc comme tu le suggères 2 colonnes de A pour obtenir B
Si f=can(A) avec B(e1,e2,e3) la base canonique associée
alors dans B'(e1,e3,e2) on a MatB'(f)=B. Es-tu d'accord jusqu'à présent ?

Si on suit ton raisonnement, qui me paraît juste, alors A et B représente le même endomorphisme f dans 2 bases différentes, elles sont donc semblables.

Cependant, on remarque aisément que Tr(A)Tr(B) ce qui est contradictoire !
En effet 2 matrices semblables ont nécessairement la même trace, ce qui fonctionnait dans le cas plus simple ci-dessus mais pas ici.

Ma question est donc la suivante: pourquoi A et B ne sont-elles pas semblables ?
Merci d'avance !

Je m'up moi-même
en fait la matrice B ne représente pas MatB'(f), en effet avec B'=(e1,e3,e2) il faut aussi inverser L2 et L3...

Voilà! Et Bienvenue sur l'