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Maximum

Posté par
Ramanujan 01-03-19 à 15:38

Bonjour,

Soit a \in \C tel que |a|=1 et \lambda \in \R tel que |\lambda| \ne 1.

Déterminer : \max_{|z|=1} (\left | \dfrac{z-a}{\lambda z -a} \right | )

Je vois pas comment partir...

Posté par
Zrunre : Maximum 01-03-19 à 16:00

Peut-être en posant a=e^{i\theta} et z=e^{it} avec t variant dans R

Posté par
luzakre : Maximum 01-03-19 à 16:10

Avec des notations évidentes :   \sup\limits_{t\in\R}\Bigl|\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{\lambda \mathrm{e}^{\mathrm{i}t}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}\Bigr|

On peut même chercher le maximum que pour t\in[-\pi,\pi] ce qui assure l'existence d'un "max" par image continue (à justifier) d'un segment de \R !

Posté par
etniopalre : Maximum 01-03-19 à 16:14

u(z) :=  z - a  ,      |u(z)|² = 2 - 2Re(az*)
v(z) :=  cz - a  ,     |v(z)|² = 1 + |c|² - 2Re(cz*)

{ az* │ |z| = 1 }  = { u │ |u| = 1 } et { Re(az*) │ |z| = 1 }  = [ - 1 , +1]

Ton max est donc la racine carrée de   2Max{ (1 - t)/ (1 + |c|² - 2t)  │ t   [ - 1 , +1]

Posté par
Ramanujanre : Maximum 01-03-19 à 16:16

Merci je vais essayer d'avancer avec votre indication. Par contre je n'ai pas encore abordé les images continues de segment donc je vais faire sans.

Posté par
Ramanujanre : Maximum 01-03-19 à 16:28

J'ai pas compris le détail ça change quoi de prendre t \in \R ou t \in [0,2\pi] ?

Je trouve en utilisant que z \bar{z} = |z|^2

\left | \dfrac{e^{it} - e^{i \theta}}{\lambda e^{it} - e^{i \theta} } \right |^2 = \dfrac{2-2 \cos(t-\theta)}{\lambda^2+1-2 \lambda \cos(t-\theta)}

Après je vois pas ce qu'il faut faire...

Posté par
lionel52re : Maximum 01-03-19 à 16:36

Essaie dexprimer ta fraction sous la forme

A + B/f(theta) avec A et B constantes

Posté par
carpediemre : Maximum 01-03-19 à 16:59

salut

soit x un réel tel que |x| <> 1

1/ le pb est résolu lorsque x = 0

2/ on suppose x > 0 et on pose r = 1/x

\left| \dfrac {z - a} {xz - a} \right| = |r| \left|\dfrac {z - a} {z - ra} \right|

en posant alors z = exp (it) et a = exp (iu) alors on est amener à chercher le maximum de

\left| \dfrac {z - a} {z - ra} \right|^2 = ....


sinon pour revenir à ce qui précède :

2 - 2 \cos (t - u) = \cos^2 (t - u) - 2 \cos (t - u) + 1 + \sin ^2 (t - u) = [\cos (t - u) - 1]^2 + \sin^2 (t - u) \\ \\ x^2 + 1 - 2x \cos (t - u) = [x - \cos (t - u)]^2 + \sin^2 (t - u) ... faut voir ....



Ramanujan @ 01-03-2019 à 16:16

Par contre je n'ai pas encore abordé les images continues de segment donc je vais faire sans.
c'est dingue ça ...

tu étudies bidule ... tu n'as pas vu truc ... tu étudies machin ... tu n'as pas vu bidule ... tu étudies truc ... tu n'as pas vu machin ...

Posté par
Ramanujanre : Maximum 01-03-19 à 17:42

Bah j'étudie dans l'ordre et je vais pas m'enflammer à partir sur des choses que je ne maîtrise pas.

@Lionel j'ai pas réussi à mettre sous la forme que vous m'avez conseillé on peut pas diviser par \lambda

J'ai une idée pour la suite. Posons : u= \cos(t-\theta) On a \forall t \in \R, u \in [-1,1]

Considérons la fonction :

f : u \mapsto \dfrac{2-2u}{\lambda^2 + 1 -2 \lambda u}

\lambda^2 + 1 -2 \lambda u =0 \Leftrightarrow u=\dfrac{\lambda^2+1}{2 \lambda}

Et là je bloque pour montrer que D_f = [-1,1]

Posté par
lionel52re : Maximum 01-03-19 à 18:27

Pourquoi tu peux pas diviser par lambda? Parce que tu as peur que lambda = 0 et donc tu te braques?
Bah on s'en fout traite le problème avec lambda non nul d'un côté puis lambda nul de l'autre côté (problème bcp plus simple)

D'ailleurs je voulais dire A+  B/f(t) plutôt..

Posté par
Ramanujanre : Maximum 01-03-19 à 18:28

Comment montrer que :  \left | \dfrac{\lambda^2 +1}{2 \lambda} \right | >1 ?

Ensuite pour la dérivée j'obtiens une expression compliquée mais j'arrive pas à étudier le signe car il faut diviser par \lambda peut être nul ou pas.

Posté par
Ramanujanre : Maximum 01-03-19 à 19:26

etniopal @ 01-03-2019 à 16:14

u(z) :=  z - a  ,      |u(z)|² = 2 - 2Re(az*)
v(z) :=  cz - a  ,     |v(z)|² = 1 + |c|² - 2Re(cz*)

{ az* │ |z| = 1 }  = { u │ |u| = 1 } et { Re(az*) │ |z| = 1 }  = [ - 1 , +1]

Ton max est donc la racine carrée de   2Max{ (1 - t)/ (1 + |c|² - 2t)  │ t   [ - 1 , +1]


Incompréhensible.

Posté par
lafol Moderateurre : Maximum 01-03-19 à 21:44

bonjour

Ramanujan @ 01-03-2019 à 18:28

Comment montrer que : \left | \dfrac{\lambda^2 +1}{2 \lambda} \right | >1 ?


j'imagine que TON livre n'a pas prévu de rappel sur les identités remarquables apprises en classe de troisième ? et comme il n'en a pas parlé tu les ignores ?

Posté par
Ramanujanre : Maximum 01-03-19 à 23:23

Il faut montrer que : (\lambda^2 + 1 )^2> (2 \lambda)^2

\lambda^4 + 2 \lambda^2 +1 - 4 \lambda^2 = \lambda^4 - 2 \lambda^2 +1 =(\lambda^2 -1)^2\geq 0  

Le cas d'égalité se produit si et seulement si : |\lambda^2 -1| =0 soit \lambda^2 =1 soit |\lambda|=1

Comme |\lambda| \ne 1 d'où le résultat.

Pour la dérivée je trouve quelque chose de compliqué :

f'(u)= 2 \dfrac{4 \lambda u - (1+\lambda)^2}{(-2 \lambda u + \lambda^2+1)^2}

J'ai fait une erreur ?


Posté par
lionel52re : Maximum 02-03-19 à 00:30

Mais tes ultra relou je tai dit comment faire pour  simplifier tu mecoutes pas

Tauras mm pas besoin de dériver pour trouver le maximum

Posté par
Ramanujanre : Maximum 02-03-19 à 01:01

Je ne vois pas comment l'exprimer sous la forme A+ B/f(u)

Posté par
Ramanujanre : Maximum 02-03-19 à 01:20

Je trouve :

f'(u)=- \dfrac{1}{2} \dfrac{(\lambda -1)^2}{(\lambda^2 + 1 - 2 \lambda u)^2}

Donc f décroit de \dfrac{4}{(\lambda+1)^2} à 0. Ainsi :

\max _{u \in [-1,1]} (f(u)) = \dfrac{4}{(\lambda+1)^2}

Mais : \left | \dfrac{e^{it} - e^{i \theta}}{\lambda e^{it} - e^{i \theta} } \right |^2 = \dfrac{2-2 \cos(t-\theta)}{\lambda^2+1-2 \lambda \cos(t-\theta)}

Donc : \left | \dfrac{e^{it} - e^{i \theta}}{\lambda e^{it} - e^{i \theta} } \right | = \sqrt{f(u)}

Ainsi le maximum recherché est : M= \sqrt{ \dfrac{4}{(\lambda+1)^2}}

Enfin : M= \dfrac{2}{|\lambda+1|}

Posté par
luzakre : Maximum 02-03-19 à 09:54

Citation :
Il faut montrer que : (\lambda^2 + 1 )^2> (2 \lambda)^2

Non ! Pas "il faut".
Rappel d'une remarque d'il y a trois jours (d'accord, pas dans ton livre) :
Le signe de 1-|x| est celui de 1-x^2 donc celui de (1-x)(1+x).
Et il n'y a aucun autre calcul vu le retour en Troisième proposé pour 1-\dfrac{2\lambda}{1+\lambda^2}=\dfrac{(1-\lambda)^2}{1+\lambda^2} et  1+\dfrac{2\lambda}{1+\lambda^2}=\dfrac{(1+\lambda)^2}{1+\lambda^2}

.........
Quant à g(t)=\dfrac{2-2 \cos(t-\theta)}{\lambda^2+1-2 \lambda \cos(t-\theta)} :
Si \lambda=0 alors g(t)=2(1-\cos(t-\theta))=4\sin^2\dfrac{t-\theta}2 : très compliqué !

Si \lambda\neq0 alors g(t)=\dfrac1{\lambda}-\dfrac{(\lambda-1)^2}{\lambda^2+1-2\lambda\cos(t-\theta)}=\dfrac1{\lambda}-\dfrac{(\lambda-1)^2}{(\lambda^2-1)^2+4\lambda\sin^2\frac{t-\theta}2} qui s'étudie sans aucun calcul de dérivée.

Posté par
malou Webmasterre : Maximum 02-03-19 à 10:11

Ramanujan @ 01-03-2019 à 23:23

Il faut montrer que : (\lambda^2 + 1 )^2> (2 \lambda)^2


tu as ouvert un autre sujet "condition nécessaire et suffisante", mais comme ici tu es dans un autre sujet, tu ne t'en occupes pas....

Posté par
Ramanujanre : Maximum 02-03-19 à 15:37

@Malou

Je n'ai pas compris quel est le problème quand j'écris "il faut montrer que"...

@Luzak

Merci beaucoup, j'aurais jamais pensé à l'astuce d'utiliser le \cos(2x)=1 - 2 \sin^2(x)
J'ai refait les calculs pour retrouver vos résultats.  Un petit souci sur la fin (j'ai corrigé une petite coquille au dénominateur c'est (\lambda -1)^2 et pas (\lambda^2-1)^2) :

g(t)=\dfrac1{\lambda}-\dfrac{(\lambda-1)^2}{(\lambda-1)^2+4\lambda\sin^2\frac{t-\theta}2}

Le maximum est atteint pour \sin^2\frac{t-\theta}2}=0 mais problème ça donne : M = \dfrac{1}{\lambda} - 1 ce qui est faux
Pas compris l'erreur.

Juste un détail : on a un majoration mais comment on sait que le maximum est atteint ? Parce que t  prend toutes les valeurs possibles ?

Posté par
malou Webmasterre : Maximum 02-03-19 à 15:48

parce que tu pourrais faire autre chose pour démontrer ton inégalité...donc il ne faut pas, il suffit !
il suffit donc de démontrer ça, pour obtenir le résultat recherché

Posté par
lafol Moderateurre : Maximum 02-03-19 à 16:22

lafol @ 01-03-2019 à 21:44

bonjour
Ramanujan @ 01-03-2019 à 18:28

Comment montrer que : \left | \dfrac{\lambda^2 +1}{2 \lambda} \right | >1 ?


j'imagine que TON livre n'a pas prévu de rappel sur les identités remarquables apprises en classe de troisième ? et comme il n'en a pas parlé tu les ignores ?

Comme effectivement ton livre considére (avec raison, mais tu en sembles cruellement dépourvu...) que le niveau collège est acquis quand on rentre dans le supérieur, petit rappel


Déjà valeur absolue de x carré plus un, c'est x carré plus un.
Ensuite une valeur absolue c'est positif : on ne change rien à l'inégalité quand on la multiplie par valeur absolue de 2x
Ensuite x2+1 -2|x|, c'est très exactement le carré de |x|-1.... Et à ce titre c'est toujours positif

Posté par
lionel52re : Maximum 02-03-19 à 16:24

L"astuce" du cos(2x) na pas dinteret dapres moi..

Posté par
lafol Moderateurre : Maximum 02-03-19 à 16:26

Sinon, écrire "il faut" au lieu de "il suffit", c'est non seulement le risque de s'embarquer dans des calculs inutiles et/ou inappropriés, mais la certitude d'une faute de raisonnement.
C'est comme si tu disais
Pour démontrer que cet oiseau est un corbeau il faut montrer qu'il est noir
J'ai démontré que ce merle est noir c'est donc un corbeau.

Posté par
Ramanujanre : Maximum 02-03-19 à 16:33

@Lafol
ok merci mais de toute façon y avait des tonnes de méthodes possibles pour montrer l'inégalité >1 et la mienne marche aussi.

Sinon quel est le maximum de : g(t)=\dfrac1{\lambda}-\dfrac{(\lambda-1)^2}{(\lambda-1)^2+4\lambda\sin^2\frac{t-\theta}2}  ?

Pour voir si on trouve la même chose qu'avec ce que j'ai obtenu en dérivant.

Posté par
luzakre : Maximum 02-03-19 à 16:53

Il manque un \lambda en dénominateur que tu aurais dû corriger en même temps que le remplacement de \lambda^2-1 par \lambda-1.

Maximum obtenu pour \sin^2\frac{t-\theta}2=1 qui vaut \dfrac1{\lambda}-\dfrac{(\lambda-1)^2}{\lambda(\lambda+1)^2)}=\dfrac{(1+\lambda)^2-(1-\lambda)^2}{\lambda(\lambda+1)^2}

Posté par
Ramanujanre : Maximum 02-03-19 à 18:08

Merci ça marche nikel !

Maintenant on a : g(t) \leq \dfrac{4}{(1+\lambda)^2}

Mais l'expression dont je cherchait le max est la racine carrée de g il faut montrer que g est positive...

Posons : u = \cos(t- \alpha)

\forall u \in [-1,1] : 2-2u \geq 0

Montrons que le dénominateur est un nombre positif:

D=\lambda^2 + 1 -2 \lambda u

On a montré que : \lef | \dfrac{1+ \lambda^2}{2 \lambda}| > 1

Si \lambda >0 alors 1+ \lambda^2 > 2 \lambda

On en déduit : D > 2 \lambda (1-u) \geq 0

Si \lambda < 0 alors : 1+ \lambda^2 > -2 \lambda

Donc D > -2 \lambda (1+u) >0

Ainsi par croissance de la fonction racine carrée sur \R^+

\sqrt{g(t)} \leq \dfrac{2}{|1+\lambda|}

Une petite question : comment on sait que cette majoration est atteinte ? Car la valeur t \in \R et que le sinus et le cosinus prennent toutes les valeurs entre -1 et 1 ?

Posté par
luzakre : Maximum 03-03-19 à 10:04

Citation :
Mais l'expression dont je cherchait le max est la racine carrée de g il faut montrer que g est positive...

Tous les jours, sa surprise !
Je croyais que tu avais défini g comme étant le carré d'un module ?
..............................
Si t parcourt \R je n'ai aucun doute que la valeur 1 est atteinte pour \sin^2\frac{t-\theta}2

Question suivante ? Comment sait-t-on que cette valeur 1 donne bien le maximum ?

Posté par
Ramanujanre : Maximum 03-03-19 à 15:00

Par stricte croissance de g sur [-1,1] ?

Posté par
luzakre : Maximum 03-03-19 à 17:28

Mais j'ai dit que je ne voulais pas calculer la dérivée !
On n'a aucun besoin de connaître les variations de g pour décider quand une différence et/ou un rapport devient maximal !

Posté par
Ramanujanre : Maximum 03-03-19 à 18:16

Parce que g s'écrit sous la forme :  g(t)= a - \dfrac{b}{ h(t)}

Le maximum est atteint pour une valeur maximale du dénominateur et cette valeur est atteinte pour un  sinus égal à 1.


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