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Méthode de Cardan

Posté par
PloufPlouf06 21-09-08 à 21:23

Bonsoir,

J'ai un problème concernant la dernière questions de cet exercice :

Citation :

On considère une équation du type \rm a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0, (a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4 et a_3\neq 0.

1) Démontrer que si l'on remplace l'inconnue z par Z=z+\frac{a_2}{3a_3}, on se ramène à une équation notée (1) du type Z^3+pZ+q=0 où p et q sont deux réels à déterminer en fonction des coefficients.

2) Soit Z solution de (1) on cherche u et v complexes tels que : \left{u+v=Z\\uv=\frac{-p}{3}.
Démontrer que u^3 et v^3 sont solutions d'une équation de degrés 2 notée (2) que l'on déterminera.

3) Soit \Delta =\frac1{27}(4p^3+27q^2), déterminer les solutions de (1) en distinguant trois cas : \rm\Delta =0, \Delta >0, \Delta <0


Je donne quand même mes réponses pour arriver directement à la dernière question :

1) p=-\frac{a_2^2^}{3a_3^2^}+\frac{a_1}{a_3} et q=\frac{a_0}{a_0}-\frac{a_1a_2}{3a_3^2^}+2\(\frac{a_2}{3a_3}\)^3

2) t^2+qt-\frac{p^3^}{27}=0

3) C'est là que je bloque. Pour \Delta =0, je trouve u^3=v^3=\frac{-q}{2}. Je cherche donc les couples (u;v) tels que uv=\frac{-p}{3}, ce qui m'amène aux couples : \(\(\frac{-q}{2}\)^{\frac1{3}};\(\frac{-q}{2}\)^{\frac1{3}}\) et \(\(\frac{-q}{2}\)^{\frac1{3}}\times j;\(\frac{-q}{2}\)^{\frac1{3}}\times j^2\)

Une des solutions à (1) serait donc Z=-2\(\frac{q}{2}\)^{\frac1{3}}. Or wikipédia affirme que le discriminant négatif apporte deux racines réelles (dont une double).

Pourtant, on n'est pas sûr que Z=-2\(\frac{q}{2}\)^{\frac1{3}}\in\mathbb{R} ?

Merci d'avance

Posté par
MataHitiennere : Méthode de Cardan 21-09-08 à 21:36

Salut

Citation :
Pourtant, on n'est pas sûr que Z=-2\(\frac{q}{2}\)^{\frac1{3}}\in\mathbb{R} ?

Si ! Souviens-toi que les irrationnels sont des réels

Posté par
PloufPlouf06re : Méthode de Cardan 21-09-08 à 21:38

Oui les irrationnels sont des réels

Mais le problème est que la racine cubique d'un nombre réel n'est pas forcément réelle D'où mon problème

Posté par
MataHitiennere : Méthode de Cardan 21-09-08 à 21:41

Pourquoi ne le serait-elle pas ?
La racine cubique, ce n'est pas la racine carrée.
Trace la courbe y=x^(1/3) quelque part et tu verras que c'est défini partout :p

Posté par
PloufPlouf06re : Méthode de Cardan 21-09-08 à 21:46

Citation :
tu verras que c'est défini partout
=> je doute que mon prof de maths accepte l'argument "on voit que"

Sinon un exemple de ce que j'affirme : x^3=8 a pour solution x=2, x=2j et x=2j^2.

Posté par
PloufPlouf06re : Méthode de Cardan 21-09-08 à 22:55


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