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méthodes intersection de deux plans

Posté par
masterred 09-05-15 à 10:58

bonjours

j'aimerais vérifier ma méthode pour determiner l'intersection de deux plans donnés, et j'aimerais également savoir s'il existe d'autre(s) méthode(s) pour faire cela.

Deux plans P : -x+2y+z-5 = 0 et P1=2x-y+3z-1=0, nous devons démontrer que ses deux plans sont secants et determiner une representation paramétrique de l'intersection.

Ma réponse :

Soit \vec{n}\left( \begin{array}{c}-1 \\2 \\1 \end{array} \right) et \vec{n_{1}}\left( \begin{array}{c}2 \\-1 \\3 \end{array} \right)
Si \vec{n} et \vec{n_{1}}, vecteurs normals respectif de P et de P1, sont non colinéaires alors P et P1 sont secant selon une droite
on a \frac{-1}{2}\neq\frac{2}{-1}\neq\frac{1}{3}
Donc il n'y a pas de proportionnalité entre les deux vecteurs normals de chaque plan
Donc \vec{n} et \vec{n_{1}} non colinéaires sont P et P1 sécants selon une droite.

Soit M(x;y;z)PP1
\large \left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} -x+2y+z-5  & 0  \\ 2x-y+3z-1 &0 \\ z &t \end{array} \right
(on pose z=t pour un vecteur directeur de PP1 de cote 1)
\large \left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x &-7t/3 + 7/3 \\ y & -5t/3 + 11/3 \\ z &t \end{array} \right
Soit tex]\left( \begin{array}{c}-7/3 \\-5/3 \\1 \end{array} \right)[/tex] vecteur directeur de PP1=d

Verifions :
.\vec{n}=0
.\vec{n_{1}}=0
donc \vec{n} et \vec{n_{1}}

donc d : \large \left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x &-7t/3 + 7/3 \\ y & -5t/3 + 11/3 \\ z &t \end{array} \right

Posté par
masterredre : méthodes intersection de deux plans 09-05-15 à 11:00

\left( \begin{array}{c}-7/3 \\-5/3 \\1 \end{array} \right)

(j'avais fait une erreur dans LaTex)

Posté par
Yzzre : méthodes intersection de deux plans 09-05-15 à 11:09

Salut,
Ta méthode est tout à fait correcte.
Un détail : "normal" , au pluriel, c'est "normaux"  

Posté par
masterredre : méthodes intersection de deux plans 09-05-15 à 11:13

d'accord et le z=t je peux le justifier comme je l'ai fais ?
haha merci du conseil :p

Posté par
Yzzre : méthodes intersection de deux plans 09-05-15 à 11:24

Oui.
Et au vu du résultat, tu aurais pu choisir z = 3 , les résultats sont plus "simples"...
Mais c'est très bien comme ça.

Posté par
masterredre : méthodes intersection de deux plans 09-05-15 à 11:49

d'accord merci à vous en tout cas

Posté par
Yzzre : méthodes intersection de deux plans 09-05-15 à 12:24

De rien  


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