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Mettre un complexe sous forme exponentielle

Posté par
Popaillo
09-10-19 à 22:55

Bonjour à tous !

J'ai quelques problèmes pour mettre quelques complexes sous leur forme exponentielle.
En effet quand on trouve le module de notre nombre, comment faire si on ne trouve pas d'argument ?

Par exemple, si on doit chercher la forme exponentielle de
z =-3 + 4i,      
on a le module qui vaut 5, mais après je n'arrive pas à trouver l'argument :

on a le cosinus qui vaut  -3/5
et le sinus qui vaut 4/5
mais donc ce ne sont pas des valeurs remarquables et je ne sais pas comment résoudre le problème.

Faut-il essayer de trouver une autre écriture pour -3 + 4i ?

Pour donner un autre exemple, j'ai aussi du mal avec la résolution de :

z = -1 + i tg(3)

Merci d'avance et bonne soirée !

Posté par
philgr22
re : Mettre un complexe sous forme exponentielle 09-10-19 à 23:13

bonsoir,
Un argument n'est pas forcement remarquable comme /2,/6etc....
Les fonctions arc sin ,arc cos donnent l'argument en radians

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Mettre un complexe sous forme exponentielle 10-10-19 à 10:10

Bonjour,
On ne dit pas l'argument mais un argument, car il y en a une infinité.

Le complexe \; -3+4i , c'est toi qui l'a inventé ou c'est sorti d'un exercice ?

Pour \; -1 + i tan(3) , remplace \; tan \; par \; sin/cos .

Posté par
Popaillo
re : Mettre un complexe sous forme exponentielle 10-10-19 à 22:25

Oui pardon, je parle bien sur des arguments en général.
Et pour -3+4i il est tiré d'un exercice.

Sinon j'avais déjà pensé à remplacer le tan(x) mais je n'arrive pas à en tirer grand chose. En faite, je sais qu'un argument n'est pas forcément remarquable, mais j'ai justement du mal à trouver la forme exponentielle quand c'est le cas.
Je me doute qu'il s'agit de simplifier l'expression, mais j'ai vraiment du mal avec les deux exemples ( tirés d'exercices ) que je vous ai donné .

Merci pour les réponses bonne soirée

Posté par
veleda
re : Mettre un complexe sous forme exponentielle 11-10-19 à 00:48

bonsoir

pour z=-1+ itan(3)  tu calcules  le module sans oublier que c'est un nombre positif

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Mettre un complexe sous forme exponentielle 11-10-19 à 07:38

Bonjour Popaillo,
As-tu vraiment essayé de suivre mon conseil pour \; z =-1+itan(3) \; ?

z = \dfrac{-cos(3)+isin(3)}{cos(3)} = \dfrac{1}{cos(3)}\times [-cos(3)+isin(3)]

Exploitable si \; cos(3) > 0 .

Sinon, utiliser \; z = \dfrac{-1}{cos(3)}\times [cos(3)-isin(3)]

Posté par
jsvdb
re : Mettre un complexe sous forme exponentielle 11-10-19 à 15:35

Bonjour

Citation :
On ne dit pas l'argument mais un argument, car il y en a une infinité

On ne peut pas être aussi catégorique.
Selon les cas et les besoins, on parlera de l'argument d'un nombre complexe z, c'est alors un élément, unique, \Theta \in \R/2\pi\Z, soit effectivement d'un argument de z qui est alors un \theta \in \Theta déterminé selon le contexte.
Pour faire un parallèle, c'est la distinction entre \blue \mathcal L^p(X) et L^p(X). On se sert rarement du premier (personnellement, jamais )

Posté par
Ulmiere
re : Mettre un complexe sous forme exponentielle 11-10-19 à 15:45

On peut voir les choses de deux manières

1) Soit on identifie \theta à sa classe modulo 2\pi et dans ce cas on parle de l'argument, l'expression 'un argument' étant alors réservée aux représentants de \theta

2) On ne passe pas au quotient et on appelle argument principal ce qui serait l'image par la détermination principale du logarithme (divisée par i), ou bien si on préfère, l'unique représentant de la classe \theta du 1) se trouvant dans l'intervalle [0,2\pi)



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