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Niveau Maths sup
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minoration du module d'une somme de complexes

Posté par
prdox
21-01-19 à 10:57

Bonjour !

Je cherche à minorer le module d'une somme de complexe je m'explique :

Je part d'une somme de complexes  qui sont tous de module 1

Z=\sum_{k=1}^{n}{z_k} = \sum_{k=1}^{n}{exp(i*\theta_k)}

Je sais que j'ai de plus \left|Z \right| > 0

maintenant je multiplie chaque complexe de la somme par un réel \alpha_k \in ]0;1[

j'obtient :

Z' =  \sum_{k=1}^{n} \alpha_k * {exp(i*\theta_k)

Je cherche à montrer que \left|Z' \right| > 0

en particulier je me suis dit que si je note  \alpha_{min} = min(\alpha_k) = min(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)

alors j'aurais peut etre \left|Z' \right| >= \alpha_{min}*\left|Z \right| > 0

mais je ne suis pas sur de comment le démontrer pouvez vous m'aidez ou me donner un contre exemple ?

Merci de votre aide

Posté par
lionel52
re : minoration du module d'une somme de complexes 21-01-19 à 11:10

Salut !

Tu prends Z = 1 + 1 + (-1)
Puis Z' = 1/4 + 1/4 - 1/2

Posté par
prdox
re : minoration du module d'une somme de complexes 21-01-19 à 11:13

Merci pour le contre exemple je vais chercher dans une autre direction.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : minoration du module d'une somme de complexes 21-01-19 à 11:17

Bonjour,
Un presque contre exemple :
a = -1 b = (1+i)/2 c = (1-i)/2

a+b+c 0 . Mais on peut trouver une combinaison linéaire nulle de a, b, c avec des coefficients dans ]0;1] .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : minoration du module d'une somme de complexes 21-01-19 à 11:20

Bonjour lionel52,
Plus rapide, et surtout plus simple et dans ]0;1[

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : minoration du module d'une somme de complexes 21-01-19 à 15:40

En fait, mon contre exemple compliqué fonctionne.
Par exemple (1/2) a + (1/2) b + (1/2) c = 0 .

Quant à 1, 1, -1 , on peut le généraliser avec ei , ei , ei(+)



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