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module d'une difference module d'une somme

Posté par
FeeJof 21-11-06 à 11:25


Salut , j'ai cette question a resoudre pour m'entrainer , un peu d'aide serai le bien venue

On admet : -||U||*||V|| U*V||U||*||V||
U et V etant des vecteurs (P)²(on rappelle que U*Vest un produit scalaire et vaut ||u||*||V||*cos x

On doit poruver que si A , B et C sont 3 points quelconque  du plan , on a aussi:
|BA-AC|BCBA+AC

Aurevoir et merci

Posté par ptitjean (invité)re : module d'une difference module d'une somme 21-11-06 à 11:57

salut,

quand tu notes BA ou BC, tu parles bien de la longueur ou norme du vecteur associé ?
Même chose |BA-AC|, est-ce la norme du vecteur \vec{BA}-\vec{AC}

En fait si c'est le cas, il y a un problème
Si on prend les points B(0,0), A(1,0) et C(-1,0)
On a |\vec{BA}-\vec{BC}|=\sqrt{3^2+0}=3 et BC=|\vec{BC}|=1 et l'inégalité à montrer est fausse...

Ptitjean

Posté par
raymond Correcteurmodule d'une difference module d'une somme 21-11-06 à 11:58

Bonjour.

2$\textrm\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} =>

2$\textrm BC^2 = ||\vec{BC}||^2 = \vec{BC}*\vec{BC} = (\vec{BA} + \vec{AC})*(\vec{BA} + \vec{AC})

2$\textrm BC^2 = BA^2 + AC^2 + 2\vec{BA}*\vec{AC}

En utilisant l'encadrement du produit scalaire fourni par l'énoncé :

2$\textrm BA^2 + AC^2 - 2.BA.BC \le BC^2 \le BA^2 + AC^2 + 2.BA.AC

On reconnaît des carrés parfaits :

2$\textrm (BA - AC)^2 \le BC^2 \le (BA + AC)^2

En écrivant :

2$\textrm (|BA - AC|)^2 \le BC^2 \le (BA + AC)^2

on se ramène à des réels positifs, donc on respecte l'inégalité par passage à la racine :

2$\textrm |BA - AC| \le BC \le BA + AC

Cordialement RR.


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