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Niveau Maths sup
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Module de complexe

Posté par
Cnat
26-02-10 à 10:53

Bonjour! J'ai une question qui me pose problème dans un exercice et si vous pourriez m'aider ce serait génial, car ça me bloque pour la suite des questions.
Je dois trouver un complexe z de module 1 tel que module(1+bqzq) + C (module(z))q+1 1 avec q(0,n), bq0 et C>0. n a été défini précédemment mais n'est pas fixé et C=nk=1,kqmodule(bkzk-q-1)
Je pensais prendre z= -1/(2(bq)^(1/q)) si q est impair mais je ne suis pas sûre que ça convienne... Et pour q pair, je pense qu'on doit trouver z par rapport à C mais je ne suis pas sûre du tout.
Merci

Posté par
LeZebre
re : Module de complexe 26-02-10 à 13:28

Bonjour,
tu es sûr que le b indice q n'est pas un b puissance q, car l'énoncé ne me semble pas très clair
Et dans la somme c'est b tout seul, il n'y a pas d'indice ? (c'est pour cela que je pense que l'autre est b puissance q, ce serait plus cohérent)
Auquel cas la somme est géométrique, ça peut simplifier les choses mais j'attends que tu me confirmes ou non l'énoncé pour chercher plus loin

Posté par
Cnat
re : Module de complexe 26-02-10 à 14:12

C'est bien b indice q, mais dans la somme, pour C, je me suis en fait trompée c'est b indice k, désolée. Mais l'expression de C n'a pas été donnée dans l'énoncé, il fallait la déterminer dans la question précédente. J'espère qu'elle est correcte.

Posté par
LeZebre
re : Module de complexe 26-02-10 à 14:17

Peux tu donner la question précédente pour voir ?

Posté par
Cnat
re : Module de complexe 26-02-10 à 14:56

En fait la question précédente découle d'autres questions. Mais je vais essayer de faire bref.
Soit P=Xn+an-1Xn-1+ao. On suppose par l'absurde que P (X) non constant ne s'annule pas
On pose Q(X)=1/P(a) P(X+a)
On montre que Q(X) s'cérit 1+b1X+...+bnXn avec bn0.
Montrer q entre 1 et n et C>0 tel que bq0 et z de module 1, module(Q(z))module(1+bqzq)+C(module(z))q+1

Posté par
LeZebre
re : Module de complexe 27-02-10 à 01:12

D'accord, je comprends mieux, l'objectif est sans doute de démontrer le théorème fondamental de l'algèbre, à savoir que tout polynôme non constant admet au moins une racine dans C
Le b indice q représente le plus petit indice non nul de Q(X)
Donc on peut écrire Q(X)=1+b(q)X^q+b(q+1)X^(q+1)+...+b(n)X^n
Ainsi module de Q(z) est inférieur ou égal à module(1+b(q)z^q)+module(z^(q+1))*C
où C=module de somme pour k=0 à n-q-1 de (b(k)z^k)
Ce n'est donc pas le C que tu proposais
Par contre vue l'heure tardive, je n'ai pas le temps de réflechir à comment trouver z pour que ceci soit inférieur à 1



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