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Niveau IUT/DUT
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module et argument

Posté par
smir
26-01-24 à 14:06

Bonjour,
je voudrais savoir comment on fait pour calculer le module et argument de z
z=1+i\left(1+\sqrt{2 \right)

Posté par
candide2
re : module et argument 26-01-24 à 14:59

Bonjour,

Comme  c'est écrit dans ton cours.

z = a + ib

|z| = \sqrt{a^2+b^2}

z = |z| * (a/|z| + i.b/|z|)
a comparer à : z = |z| * (cos(phi) + i.sin(phi))

Avec Phi un argument de z, et donc ...

Posté par
GBZM
re : module et argument 26-01-24 à 15:27

Bonjour,
Ici, il peut être utile de remarquer que z=(1+i)+ i\sqrt2. Ça peut faciliter la recherche de l'argument.

Posté par
MattZolotarev
re : module et argument 27-01-24 à 19:58

malou edit > ** message modéré **

A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

Posté par
lake
re : module et argument 27-01-24 à 20:12

Bonsoir,
Plutôt que batailler ferme pour obtenir ce \dfrac{3\pi}{8}  on peut s'inspirer de l'excellente remarque de GBZM :

Citation :
Ici, il peut être utile de remarquer que z=(1+i)+ i\sqrt2. Ça peut faciliter la recherche de l'argument.

et faire un dessin. L'argument nous saute quasiment à la figure

Posté par
lake
re : module et argument 27-01-24 à 20:18

Ah! Un peu tard. Peut-être me suis-je mêlé de ce qui ne me regardait pas

Posté par
MattZolotarev
re : module et argument 27-01-24 à 20:47

Je suis d'accord que l'argument saute à la figure avec le dessin, mais est-ce une preuve ?

Pour ce qui est de la suppression de mon message précédent, je suis un peu déçu vu le temps que j'y ai passé...

Je ne considère pas avoir donné une réponse toute prête, au contraire j'ai essayé d'expliquer un maximum pour que l'étudiant comprenne ce que j'ai écrit, en laissant des questions non détaillées pour qu'il démontre les résultats intermédiaires. M'enfin.

Posté par
MattZolotarev
re : module et argument 27-01-24 à 20:55

J'en profite par exemple pour rappeler (s'il s'agissait d'une intuition implicite) que \arg(z+z')\neq\dfrac{\arg(z)+\arg(z')}{2} [2\pi] en général.

Prendre par exemple z=1+\mathrm{i} et z'=t\mathrm{i}, avec >0, en faisant varier t...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : module et argument 27-01-24 à 21:12

Bonsoir,
@MattZolotarev,

Citation :
Je suis d'accord que l'argument saute à la figure avec le dessin, mais est-ce une preuve ?
Personne n'a dit que c'était une preuve.
C'est un moyen de trouver une démonstration faisant appel à des notions de géométrie.
Par ailleurs, à quoi bon poursuivre un dialogue avec le demandeur qui n'a jamais réagi ?

J'en profite quand même pour signaler qu'on préfère dire "un argument" plutôt que "l'argument".

Posté par
MattZolotarev
re : module et argument 27-01-24 à 21:32

J'avais explicité la nuance entre "un argument" et "l'argument principal" d'un complexe non nul et me suis donc permis cet abus de langage par la suite (que l'on fait tous, soyons honnêtes), mais bon

La difficulté ne réside ici pas dans le fait de conjecturer la valeur de l'argument (principal), ce que l'auteur a certainement dû faire aisément, mais dans le fait de la démontrer.

J'ai essayé de proposer un schéma de démonstration algébrique en donnant les différentes étapes en laissant le soin à l'auteur de rédiger leur contenu.

Quelle aide apporte-t-on en suggérant au demandeur de faire un dessin qu'il a sans doute déjà fait ?
Quel schéma de démonstration propose-t-on ici (sans bien sûr la rédiger intégralement afin de ne pas faire le travail à la place de l'étudiant) qui s'appuie sur des arguments géométriques, et qui découle "relativement" facilement de l'intuition apportée par le dessin ? Je suis curieux.

Pour ce qui est du demandeur qui n'a jamais réagi, le post était hier, c'est sans doute un peu rapide pour conclure implicitement quant à l'absence de réaction. Peut-être va-t-il réagir demain, en rentrant de, disons n'importe quoi, son week-end ski ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : module et argument 28-01-24 à 08:42

Bonjour,
@MattZolotarev,
Ma remarque de vocabulaire s'adressait à tous les intervenants, demandeur compris.
Ça me démangeait depuis un moment.

Qu'est-ce qui permet de croire que l'auteur a conjecturé aisément le résultat ?

Je n'ai pas lu ton message effacé. Je n'en parlerai donc pas.

Pour ta curiosité :
Une figure avec la somme de deux complexes fait intervenir un certain type de quadrilatère. Quand ce quadrilatère a deux côtés consécutifs de même longueur alors ses diagonales ont certaines propriétés.

Enfin, l'usage sur l'île est que les demandeurs ne partent pas en week-end juste après avoir posté leur demande...
L'usage aussi est, sauf nécessité, de ne pas multiplier les interventions de différents aidants.

Posté par
MattZolotarev
re : module et argument 28-01-24 à 19:45

"Une figure avec la somme de deux complexes fait intervenir un certain type de quadrilatère. Quand ce quadrilatère a deux côtés consécutifs de même longueur alors ses diagonales ont certaines propriétés."

Et penses-tu sincèrement que ce type de raisonnements vienne spontanément à un étudiant d'IUT, qui n'a pas fait de géométrie plane essentiellement depuis le collège ?

Peut-être que je me méprends complètement et que dans le cadre de l'utilisation des complexes dans la géométrie plane (et ici vice-versa), c'est ce que l'enseignant attend, mais j'ai l'intuition que j'ai c'est que s'il vient ici, c'est sans doute qu'ils n'ont pas vraiment fait de choses analogues en cours. Donc faire appel à des notions vues des années en arrière ne me semble pas du tout faire partie du domaine de ce qui "découle immédiatement du dessin" (car quand on est étudiant, on cherche à se raccrocher au cours, pas à des propriétés que l'on n'a pas vues ou utilisées depuis 5 ans - ce qui correspond à une éternité quand on a 18 ans).

Ou peut-être que nous n'avons pas les mêmes élèves/étudiants.

Bref, ce n'est pas grave, et effectivement cela ne sert à rien d'épiloguer. Bonne soirée.

Posté par
lake
re : module et argument 28-01-24 à 21:02

Bonsoir MattZolotarev,
Je ne peux m'empêcher de réagir :

Citation :
Une figure avec la somme de deux complexes fait intervenir un certain type de quadrilatère. Quand ce quadrilatère a deux côtés consécutifs de même longueur alors ses diagonales ont certaines propriétés
Citation :
Et penses-tu sincèrement que ce type de raisonnements vienne spontanément à un étudiant d'IUT, qui n'a pas fait de géométrie plane essentiellement depuis le collège ? .

Peut-être pas mais c'est le moment ou jamais de faire le lien.
C'est ce qu'a suggéré GBZM avec une solution "élégante".
Après tout, les complexes et le plan d'Argand sont étroitement liés.
Citation :
Quel schéma de démonstration propose-t-on ici (sans bien sûr la rédiger intégralement afin de ne pas faire le travail à la place de l'étudiant) qui s'appuie sur des arguments géométriques, et qui découle "relativement" facilement de l'intuition apportée par le dessin ? Je suis curieux.

Pour satisfaire ta curiosité, si on est rigoriste, dans le repère (O,\vec{u},\vec{v}) utilisé, on part de l'angle de vecteurs (\vec{u},\vec{OM})M est l'image du complexe 1+i(1+\sqrt{2}). Les choses se passent très bien ...
Citation :
... et effectivement cela ne sert à rien d'épiloguer.

Je ne te fais pas dire ...

Posté par
MattZolotarev
re : module et argument 28-01-24 à 23:58

Que les choses soient très claires, quand je parle de "ma curiosité", il s'agit d'une question rhétorique, hein ?

S'il est effectivement l'occasion rêvée de faire le lien, le fait de dire "fais un dessin" n'implique pas qu'il fera spontanément ce lien... Ce n'est pas parce que c'est clair pour les matheux aguerris que nous sommes que ça l'est pour lui.

C'est un petit peu le défaut de certains mathématiciens que de considérer clair pour tous ce qui l'est pour lui. Est-ce de la suffisance ou de la naïveté, je ne sais pas, mais quoi qu'il en soit il y a ici un problème.

Pourquoi, s'il y a volonté de faire apparaître ce lien, ne pas dire quelque chose du type : Prends les points A,B, C et D d'affixes respectives 0, 1+\mathrm{i}, 1+\mathrm{i}(1+\sqrt{2}) et \mathrm{i}\sqrt{2}. Que dire du quadrilatère ABCD ?

Cela donne une piste de réflexion claire sans pour autant faire le travail de l'étudiant à sa place. Il n'est pas nécessairement évident de voir l'étroitesse des liens entre les nombres complexes et la géométrie plane. C'est précisément le sujet d'un cours (qui par ailleurs me semble de moins en moins enseigné, et sans doute encore moins dans des cursus qui ont vocation à faire des maths un outil plutôt qu'un objet d'élégance en soi - ce que l'on peut déplorer mais qui n'est pas le sujet ici). Je trouve à ce titre intéressante l'intervention de candide2, dont le premier réflexe a été, sans doute comme l'étudiant, de faire appel à des notions élémentaires du cours et qui sont tout sauf géométriques.

Ne prétendez pas que vous aviez, étudiants, le recul nécessaire au moment de découvrir une notion pour voir immédiatement des connexions avec des concepts mathématiques (aussi simples soient-ils) a priori éloignés - même si factuellement ils ne le sont pas -. A sa place, et c'est ce que je sous-entends lorsque je dis "comment trouver une démonstration qui découle simplement du dessin", je placerais les points B et C (éventuellement D) dont les affixes sont définies ci-dessus, et je me dis, avec le cours qui se résume peu ou prou à ce dont fait référence candide2 : "et alors ? Je viens avec une question parce que je suis bloqué, et on me dit de faire un dessin...".

Pire encore, vu que GBZM a parlé d'addition de deux complexes dont je connais les arguments (principaux), je ne pense même pas géométrie et je peux avoir l'intuition commune bien que fausse (je parle en connaissance de cause parce que je le lis/vois/entends fréquemment...) que \arg(z+z')=\dfrac{\arg(z)+\arg(z')}{2}\ [2\pi].

Qu'on soit bien clair, je ne reproche pas du tout à GBZM d'avoir donné cette indication qui clarifie la situation. Je dis juste qu'elle la clarifie, à condition d'y voir une somme vectorielle, ou le tracé de deux côtés consécutifs d'un quadrilatère particulier (dont il faut voir rapidement qu'il a cette particularité), dont on peut extraire des informations en faisant appel à des connaissances de géométrie planes, délaissées depuis le collège (sauf peut-être en seconde quand, justement, on parle d'égalité de vecteurs, et encore cela semble souvent mis un peu sous le tapis et à mon sens à juste titre - sur le plan pédagogique). En somme (ou plutôt en produit), je trouve que cela fait beaucoup de "si".
Orienter un peu la réflexion de l'auteur en parlant de quadrilatère ne me semble pas être "trop". De même, faire quelques rappels de cours et proposer une démarche algébrique qui, bien que lourde, me semble plus en adéquation avec le contenu dudit cours, qui essentiellement n'est pas géométrique (cf. candide2) qu'un parallèle (élégant et clair quand on a du recul mais non trivial en tant qu'étudiant) avec la géométrie plane, ne me semble pas être "trop" non plus. Par contre, parler de somme de deux nombres complexes me paraît "trop peu", voire même me semble pouvoir orienter l'étudiant vers une intuition commune et surtout fausse.

Pour faire court : Oui l'intervention de GBZM est pertinente, non elle n'est pas forcément "utile" à (ou parlante pour) un étudiant qui n'a pas le recul pour déceler dans cette somme de la géométrie plane (surtout dans un programme qui la délaisse de plus en plus) et qui aura surtout le réflexe de se référer au cours tel que rappelé par candide2. Pour faire émerger l'intuition géométrique, parler de quadrilatère ne me semble pas superflu.

Je suis désolé d'"épiloguer" encore, mais puisque tu t'es autorisé à le faire malgré "je ne te le fais pas dire", il n'y a pas de raison que je ne me l'autorise pas non plus. Comme sans doute beaucoup d'entre nous, je suis têtu

Posté par
GBZM
re : module et argument 29-01-24 à 09:14

Quelle tartine !
Sans géométrie :

\Large (1+i)+i\sqrt2=\sqrt2\, e^{i\pi/4}+\sqrt2\, e^{i\pi/2}=\sqrt2\, e^{i3\pi/8}\left(e^{i\pi/8}+e^{-i\pi/8}\right)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : module et argument 29-01-24 à 11:00

Je vais tenter de faire moins "tartine" (je fais partie des têtues)

Citation :
C'est un petit peu le défaut de certains mathématiciens que de considérer clair pour tous ce qui l'est pour lui. Est-ce de la suffisance ou de la naïveté, je ne sais pas, mais quoi qu'il en soit il y a ici un problème.
Je ne vois pas où est le problème.
Déjà, je ne crois pas que les aidants se considèrent comme mathématicien. En tous cas pas moi.
Ensuite, si on était ainsi que décrit ci-dessus, on ne viendrait pas aider sur l'île.

Citation :
Pourquoi, s'il y a volonté de faire apparaître ce lien, ne pas dire quelque chose du type :
Ça aurait pu être fait dans un second temps, après réaction sous forme de demande venant de smir ou d'un autre îlien s'intéressant à l'exercice.
Donner un début de piste qui laisse place à des initiatives est tout à fait dans l'esprit de l'île à mon sens.



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