Niveau Licence Maths 1e ann

Moment et fonction génératrice

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Epsilon 23-12-14 à 22:10

Soit une densité de probabilité $w(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}$

On définit le n-ième moment par $<x^n>$ et la fonction génératrice par $p->g(p)=<e^{-px}>=\int_{-\infty}^{+\infty}w(x)e^{-px}dx$

Je trouve : $g(p)=e^{-ap+\frac{1}{2}\sigma^2p^2$ (ce résultat est à peu près sûr, l'énoncé le donnait déjà comme résultat en plus)

En revanche j'ai un problème pour trouver les moments...

On voit tout de suite que $g(p)=<\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-px)^n}{n!}>=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-p)^n}{n!}<x^n>=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-p)^n}{n!}*(nième-moment)$

Or, j'ai trouvé $g(p)=e^{-ap+\frac{1}{2}\sigma^2p^2}$

donc $g(p)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-ap+\frac{1}{2}\sigma^2p^2)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-p)^n}{n!}(a-\frac{1}{2}\sigma^2p)^n$

D'où par identification : n-ième moment = $(a-\frac{1}{2}\sigma^2p)^n$

Mais problème : le premier moment vaut $a-\frac{1}{2}\sigma^2p$ a priori...

Or en faisant plusieurs fois le calcul, j'obtiens $<x>=\int_{-\infty}^{+\infty}xw(x)dx=a$ qui n'est pas la même chose...

Où est le problème ? Merci