princesyb @ 09-01-2022 à 21:20Le temps de répondre aux messages précédents j'essaye je faire ce que vous avez dit
Montrons que P n'est pas divisible par aucun des Pi.Autrement dit montrons que aucun Pi divise P
Donc
Absurde car un nombre premier ne peut diviser -1
Correct?
carpediem @ 10-01-2022 à 16:45bon pour en finir tout de même avec l'idée initiale :
carpediem @ 09-01-2022 à 20:55soit
0/ p est de la forme 4k + 3 et est supérieur (strictement) aux p_i
1/ p n'est divisible par aucun des p_i
2/ il y a alors deux cas :
a/ p est premier ... et donc ...
c'est fini
b/ p n'est pas premier et alors ...
il ne peut pas être divisible uniquement par des nombres premiers de la forme 4k + 1 donc ... justifier l'ensemble des affirmations ...
1)ok ou pas?
J'ai supposer que p premier
Maintenant le cas où il n'est pas premier
Sylvieg @ 10-01-2022 à 15:39Je suis de retour.
En espérant ne pas déranger, j'essaye de clarifier mon message de 9h38 en partant de cette phrase rectifiée de
Zormuche :
Citation :
On sait que les nombres premiers, sauf 2, sont congrus à 1 ou 3 modulo 4.
D'où :
Les nombres premiers, sauf 2, sont congrus à 1 ou -1 modulo 4.
On en déduit :
Un produit de nombres premiers qui commence par 2 est donc congru à
2, donc à 2 modulo 4.
Soit p
n le plus grand nombre premier congru à 3 modulo 4.
Soit A
n = 2
3
5
...
p
n le produit de
tous les premiers inférieurs ou égaux à p
n.
L'entier A
n+1 est un nombre supérieur à p
n et congru à 3 modulo 4.
Il n'est donc pas premier.
Comment peuvent être ses diviseurs premiers ?
2)b)p n'est pas premier donc p=
Ou comme l'a fait remarqué
Sylvieg
Si Pi|P alors
Et donc Pi|1
Aucun nombre peut diviser 1 contradiction
Si je fait comme
carpediemmd l'a indiqué
Et si Pi|P alors
Donc Pi|1
Contradiction car aucun nombre qu'il soit premier ou pas peut diviser 1
Conclusion:
Que P soit premier ou non ,on aboutit toujours à une contradiction donc Pi ne divise P donc N n'admet aucun diviseur premier
Donc il existe une infinité de n'ombres congrus à 3 modulo 4