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Montrer qu'un endomorphisme est bijectif
Bonjour, mon problème réside dans le fait de montrer qu'un endomorphisme est bijectif.
En fait, je sais tout à fait comment il faut faire mais j'arrive pas à sortir quelque chose d'exploitable dans les données que l'on me donne, ce qui est pour le moins frustant.
On me donne E un espace vectoriel, et f un endomorphisme de E qui vérifie :
f(f) + f - 6IdE = 0
( j'écris f(f) pour f rond f, car je ne sais pas comment écrire la composé d'une fonction dans le forum ...)
Et en soit, si f est bijectif, alors il faut montrer que Ker f = 0 et que Im f = f
Mais je n'arrive rien à sortir de cette expression ...
Dans la suite, on me dit de prendre x 
Ker(f-IdE) et d'exprimer fk(x)
la encore je suis bloquée mais c'est un problème de notation encore ...
Merci beaucoup et bonne journée
Bonjour,
Tu n'as pourtant pas beaucoup de choix : on ne te donne qu'une application linéaire et une équation fof+f-6id=0.
Prends x dans ker(f) i.e. f(x)=0, et regarde de plus près ton équation, que vois-tu ?
Ensuite dire que signifie que f(x)-x=0 i.e. f(x)=x.
Que vaut f(f(x)) dans ce cas ? Généralise.
1.On te donne un espace vectoriel E sur le corps K = ...???
2.Tu as f o f + f = 6Id donc f o(f + Id) = 6Id . Si 6 est inversible tu obtiens directement que f est bijective et même une expression de f-1 .
3.Si f(x) = x tu as f²(x) = (f o f)(x) = 5x , f3(x) =f(5x) =...
Merci j'avais déja trouvé l'expression de f-1 mais bon je trouve
fof(x)+f(x)=6Id
or si x Ker f
alors f(x) = 0 et fof(x) = 0
du coup 0 = 6Id
Id = 0 et je ne pensais pas que c'était possible...
du coup j'ai bien Ker f = 0
ensuite je dois montrer que Im f = f ...
je prends donc x dans l'image de f et ensuite je dis qu'il existe t un antécedent de x tel que
x = f(t) mais je ne vois pas ou ca me mène pour montrer la bijection.
Désolée kybjm, mais je n'ai pas le corps K sur le lequel E est défini, on me donne juste E un espace vectoriel ... et je ne comprends pas trop : "si 6 est inversible", 6 est forcément inversible non ? ( je ne suis qu'en maths sup)
si f(x) = x alors f²(x) = f(f(x)) = f(x) = x non ? je n'ai pas compris pourquoi est ce f²(x) = 5x
Non attention,
g=fof+f-6Id est une application linéaire, si on lui fournit un vecteur x, alors on obtient g(x)=(fof+f-6Id)(x)=fof(x)+f(x)-6Id(x)=f(f(x))+f(x)-6x !
L'application identité n'apparait plus et on retrouve bien un vecteur.
Du coup, tu n'obtiens pas 0=6Id mais 0=6x !
Si ton corps est Q, IR ou C ça veut bien dire que x est le vecteur nul et donc que f est injective.
Pour montrer que f est surjective, il faut montrer que Im(f)=E !
Donc tu prends un vecteur y dans E, et tu cherches un vecteur x tel que f(x)=y.
Comme il a déjà été dit, tu peux remarquer que 1/6(f(f(y)-y))=y pour trouver ton x.
Mais si tu as déjà montrer que f était bijective et exhiber f-1, pourquoi vouloir remontrer que f est injective et surjective ?
Pour la suite, tu es sur qu'on te demande d'étudier fk(x) avec x dans ker(f-id) ?
Parce qu'il n'est pas difficile de voir que ker(f-id)={0}.
en fait, dans l'ordre des questions je dois d'abord montrer que f est bijective, puis déterminer son inverse.
et ensuite il me faut juste exprimer fk(x) en fonction de x,
et k en prenant x Ker(f -Id)
je pense que ca doit pas etre dur mais je n'arrive déja pas à trouver f(x) ...
@Liline : Cela t'arrive-t-il de répondre aux messages tel que celui-ci 
Noyau et Image d'une application linéaire. ?
A +
en fait, dans l'ordre des questions je dois d'abord montrer que f est bijective, puis déterminer son inverse.
Pour montrer la bijectivité et calculer l'inverse, il suffit regarder le message de gui_tou. Il a tout dit.
ensuite il me faut juste exprimer fk(x) en fonction de x,
et k en prenant xKer(f -Id)Ah, c'est mieux.
Dans ce cas, si x appartient à ker(f-
id), cela veut dire que f(x)=x.
Que vaut f(f(x)) ? Généralise par récurrence.
Désolée mais pour montrer que f est surjective, je prends y dans Im f = E
et je dis qu'il existe x, tel que y = f(x)
et ensuite je suis perdue
C'est bien ce que je pensais ! Liline s'en fiche totalement de ce que l'on peut dire. Narhm, si tu veux perdre ton temps, alors ...
A +
Tu ne connais pas ton cours liline.
Pour montrer que f est surjective, il faut montrer que Im(f)=E sachant que l'inclusion de gauche à droite est évidente.
En gros, il faut montrer que E est inclus dans Im(f).
Pour cela, je te l'ai déjà dit :
Pour montrer que f est surjective, il faut montrer que Im(f)=E !
Donc tu prends un vecteur y dans E, et tu cherches un vecteur x tel que f(x)=y.
Comme il a déjà été dit, tu peux remarquer que 1/6(f(f(y)-y))=y pour trouver ton x.
Ensuite, je t'ai aussi dit que gui_tou avait tout fait : il a montré qu'il existait une application linéaire g telle que
C'est bien la définition de " f est une application linéaire inversible/bijective, d'inverse g" non ?
D'accord, merci. Ce que m'a indiqué gui_tou, en fait je l'ai fait pour trouver f-1
mais je n'avais pas réaliser qu'en faisant cela, j'avais aussi montrer que f est bijective ! Je crois que je cherchais un peu trop compliqué !
Et puisque] f(x) = x
alors f(f(x))=f(x)=2x
et par récurrence, f(fk-1(x))=kx
Je n'ai pas eu de cours sur ca, en fait on a commencé dès le premier chapitre de l'année à parler de surjectivité et d'injectivité. Par exemple on commencé par dire que
ln et exp était bijective en se servant du théorème de la bijection...
Et puis après on a généralisé en faisant toujours quelque chose du genre :
pour montrer qu'une application est injective, on montre que son noyau est nul
et pour montrer qu'une application est surjective on montre que son image est égale à l'ensemble d'arrivée de l'application.
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