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Posté par
Rodrigore : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 14:17

C'est ça

Posté par
robby3re : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 14:19

ok alors dans ce cas pourquoi les racines sont  algébirques sur F?
les racines sont dans C.ok
aprés?

Posté par
Rodrigore : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 14:19

Ben elles sont solution de P(x)=0 avec P dans F[X]

Posté par
robby3re : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 14:20

ah oui d'accord
désolé.

Posté par
robby3re : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 14:21

pourquoi tu conclues que les racines sont dans F?

Posté par
Rodrigore : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 14:22

Parce que les racines sont algébrique sur F, ok? Mais F est algébrique sur Q, donc les racines sont algébriques sur Q, elles sont donc dans F.

Posté par
robby3re : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 14:24

Citation :
Parce que les racines sont algébrique sur F, ok? Mais F est algébrique sur Q, donc les racines sont algébriques sur Q, elles sont donc dans F.

>parfaitement!
ok c'est bon,j'ai saisi.
Merci bien Rodrigo.

Posté par
H_aldnoerre : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 18:02

J'essaye de refaire ce que tu dit Rodrigo.

Citation :
les coeff de P sont dans F par définition puisqu'on a pris P dans F[X], ok? Ces racines (à P) elles sont dans C, mais elles sont algébirques sur F, qui est une extension algébrique de Q, elles sont donc algébrique sur Q (base téléscopique). Les racines de P sont donc dans F, et P est scindé sur F.


On se donne un polynôme non constant de F[X] : P(X)=a_0+a_1X+...+a_{n-1}X^{n-1}\in F[X] (les a_i sont dans F)

On a F\subset \mathbb{C} est \mathbb{C} étant algébriquement clos on peut scindé P sur \mathbb{C} : P(X)=(X-b_0)...(X-b_{n-1})\in\mathbb{C}[X] (les b_i sont dans \mathbb{C} et à priori distincts des a_i)

Pourquoi les b_i (ie les racines) sont algébriques sur F ?.

Posté par
Rodrigore : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 18:29

Quelle est la déf d'etre algébrique sur un corps k?

Posté par
H_aldnoerre : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 18:42

L/K une extension.
a dans L est algébrique sur K s'il existe un polynôme non nul unitaire de K[X] tel que P(a)=0.

Posté par
Rodrigore : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 18:44

Et là tu ne vois pas de polynome à coeff dans F dont bi soit racine.

Posté par
H_aldnoerre : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 18:46

Si tu parle du polynôme P(X)=(X-b_0)...(X-b_{n-1})\in\mathbb{C}[X] je ne comprend pas car il est à coefficient dans \mathbb{C} !

Posté par
Rodrigore : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 18:46

Non, c'est un polynome de F[X]...on le prend comme ça!

Posté par
H_aldnoerre : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 18:59

C'est vraiment pas de la mauvaise foi, mais je vois pas!
Les b_i sont dans \mathbb{C} car on le scinde sur \mathbb{C} !

Tu as peut être un exemple concret?

Si je prend le polynôme X^2+1\in\mathbb{R}[X]. C'est un polynôme à coefficient dans \mathbb{R}.
On le scinde sur \mathbb{C} qui est algébriquement clos : (X-i)(X+i)\in\mathbb{C}[X] c'est bien à coefficient dans \mathbb{C} non ??

Posté par
Rodrigore : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 19:03

Non il est toujours à coeff dans R c'est le meme polynome qu'on l'ecrive (X-i)(X+i) ou x²+1 il est toujours à coeff dans R et c'est toujours un polynome de R[X]

Posté par
H_aldnoerre : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 19:04

ahhhhh!

Posté par
H_aldnoerre : Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique 26-02-08 à 19:06

J'ai tout compris, merci Rodrigo.

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